Três maquinas A, B e C produzem respectivamente e do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são e . Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da maquina B ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo e quais informações temos.
Enunciado resumido:
Temos três máquinas, A, B e C, que produzem 40%, 50% e 10% das peças de uma fábrica, respectivamente. A porcentagem de peças defeituosas produzidas por cada máquina é de 3%, 5% e 2%, respectivamente. Se pegarmos uma peça aleatoriamente e ela for defeituosa, queremos saber qual a probabilidade de ela ter vindo da máquina B.
Conteúdo da matéria:
Vamos usar probabilidade condicional e a Teorema de Bayes para resolver esse problema. Precisaremos entender como calcular a probabilidade de um evento dado que outro evento já ocorreu.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades conhecidas:
  • Probabilidade de uma peça ser produzida por cada máquina:
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa, dado que ela veio de cada máquina:

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Isso significa considerar todas as maneiras pelas quais uma peça pode ser defeituosa, ou seja, ser produzida por qualquer uma das três máquinas e ser defeituosa.
A fórmula é:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é ou 3,9%.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B, dado que ela é defeituosa, isto é, .
Para isso, usamos a Fórmula de Bayes:
Já calculamos . Vamos substituir os valores:
Calculando o numerador:
Portanto:
Para expressar em fração:

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é .

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