Três maquinas A, B e C produzem respectivamente
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da maquina B ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo e quais informações temos.
Enunciado resumido:
Temos três máquinas, A, B e C, que produzem 40%, 50% e 10% das peças de uma fábrica, respectivamente. A porcentagem de peças defeituosas produzidas por cada máquina é de 3%, 5% e 2%, respectivamente. Se pegarmos uma peça aleatoriamente e ela for defeituosa, queremos saber qual a probabilidade de ela ter vindo da máquina B.
Temos três máquinas, A, B e C, que produzem 40%, 50% e 10% das peças de uma fábrica, respectivamente. A porcentagem de peças defeituosas produzidas por cada máquina é de 3%, 5% e 2%, respectivamente. Se pegarmos uma peça aleatoriamente e ela for defeituosa, queremos saber qual a probabilidade de ela ter vindo da máquina B.
Conteúdo da matéria:
Vamos usar probabilidade condicional e a Teorema de Bayes para resolver esse problema. Precisaremos entender como calcular a probabilidade de um evento dado que outro evento já ocorreu.
Vamos usar probabilidade condicional e a Teorema de Bayes para resolver esse problema. Precisaremos entender como calcular a probabilidade de um evento dado que outro evento já ocorreu.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades conhecidas:
-
Probabilidade de uma peça ser produzida por cada máquina:
-
-
Probabilidade de uma peça ser defeituosa, dado que ela veio de cada máquina:
-
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Isso significa considerar todas as maneiras pelas quais uma peça pode ser defeituosa, ou seja, ser produzida por qualquer uma das três máquinas e ser defeituosa.
A fórmula é:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é
ou 3,9%.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B, dado que ela é defeituosa, isto é,
.
Para isso, usamos a Fórmula de Bayes:
Já calculamos
. Vamos substituir os valores:
Calculando o numerador:
Portanto:
Para expressar em fração:
Resposta
A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é
.