Numa amostra de n=5 motoristas, qual a probabilidade de exatamente dois apresentarem tempo de reação entre 1,00 e 1,75 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma amostra de n = 5 motoristas e queremos descobrir a probabilidade de exatamente dois deles terem um tempo de reação entre 1,00 e 1,75 segundos. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações com dois resultados possíveis (como sucesso ou fracasso) em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar dois elementos importantes para a distribuição binomial:
  1. Número de tentativas ( n): No nosso caso, são os 5 motoristas.
  2. Probabilidade de sucesso ( p): Aqui, “sucesso” significa que um motorista tem o tempo de reação entre 1,00 e 1,75 segundos.
Vamos chamar a probabilidade de um motorista ter esse tempo de reação de p. Se não tivermos o valor de p, precisaremos encontrá-lo ou ele deve ser fornecido pelo problema.

Passo 3

Assumindo que já sabemos o valor de p, a probabilidade de “fracasso” (ou seja, o motorista não ter o tempo de reação entre 1,00 e 1,75 segundos) será 1 - p.

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da distribuição binomial para encontrar a probabilidade de exatamente k = 2 sucessos em n = 5 tentativas:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 5

Calculando o coeficiente binomial:
binom52 = 5!2!(5 - 2)! = 5 times 42 times 1 = 10

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
P(X = 2) = 10 cdot p^2 cdot (1 - p)^3

Resposta

A probabilidade de exatamente dois dos cinco motoristas terem um tempo de reação entre 1,00 e 1,75 segundos é:
P(X = 2) = 10 cdot p^2 cdot (1 - p)^3

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