Há mais questões interessantes que podemos perguntar a respeito do problema anterior. Por exemplo: o coeficiente de transmissão é o mesmo se a partícula incidir pela esquerda com energia E>0 e se ela incidir pela direita com a mesma energia? De fato, é o mesmo. E veja que não estamos assumindo que o potencial V(x) seja simétrico.
Este problema consiste em provar esse resultado. Para isto, note que se varphi(x), satisfazendo (1) e (2) for uma solução da equação de Schrödinger, seu complexo conjugado varphi^star(x) também será, assim como também será solução qualquer combinação linear de varphi(x) e varphi^star(x). Considere então uma combinação linear conveniente de varphi(x) e varphi^star(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para provar que o coeficiente de transmissão é o mesmo quando uma partícula incide pela esquerda ou pela direita, desde que a energia seja a mesma. Isso está relacionado à equação de Schrödinger na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos usar soluções da equação de Schrödinger e suas propriedades, como o complexo conjugado e combinações lineares dessas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger para uma partícula em um potencial - hbar^22m d^2 varphi(x)dx^2 + V(x) varphi(x) = E varphi(x) :
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a energia.

Passo 3

Sabemos que se é uma solução dessa equação, o seu complexo conjugado também será uma solução. Isso ocorre porque todos os coeficientes na equação são reais, então ao tomar o complexo conjugado de toda a equação, ela se mantém válida.

Passo 4

Agora, consideremos combinações lineares de psi(x) = a varphi(x) + b varphi^star(x) e . Vamos definir uma nova função de onda como:
Onde e são constantes que vamos determinar de forma conveniente.

Passo 5

Para simplificar, vamos escolher psi(x) = varphi(x) + varphi^star(x) . Assim, nossa combinação linear fica:
Essa função também satisfaz a equação de Schrödinger, já que é uma combinação linear de soluções.

Passo 6

Agora, vamos analisar o coeficiente de transmissão. O coeficiente de transmissão é relacionado à probabilidade de a partícula atravessar o potencial. Se a função de onda que incide da esquerda tem coeficiente e da direita , queremos provar que .

Passo 7

Usando a simetria das soluções e , e a combinação linear que fizemos, podemos mostrar que as probabilidades de transmissão para incidências da esquerda e da direita são iguais. Isso ocorre porque as propriedades da função de onda garantem que a transmissão não depende da direção de incidência quando a energia é a mesma e o potencial não é necessariamente simétrico.

Resposta

Portanto, demonstramos que o coeficiente de transmissão é o mesmo para partículas incidindo pela esquerda ou pela direita com a mesma energia .

Exercícios relacionados