Há mais questões interessantes que podemos perguntar a respeito do problema anterior. Por exemplo: o coeficiente de transmissão é o mesmo se a partícula incidir pela esquerda com energia
e se ela incidir pela direita com a mesma energia? De fato, é o mesmo. E veja que não estamos assumindo que o potencial
seja simétrico.
Este problema consiste em provar esse resultado. Para isto, note que se
, satisfazendo (1) e (2) for uma solução da equação de Schrödinger, seu complexo conjugado
também será, assim como também será solução qualquer combinação linear de
e
. Considere então uma combinação linear conveniente de
e
.
Este problema consiste em provar esse resultado. Para isto, note que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para provar que o coeficiente de transmissão é o mesmo quando uma partícula incide pela esquerda ou pela direita, desde que a energia
seja a mesma. Isso está relacionado à equação de Schrödinger na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos usar soluções da equação de Schrödinger e suas propriedades, como o complexo conjugado e combinações lineares dessas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger para uma partícula em um potencial
:
Aqui,
é a função de onda,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é a energia.
Passo 3
Sabemos que se
é uma solução dessa equação, o seu complexo conjugado
também será uma solução. Isso ocorre porque todos os coeficientes na equação são reais, então ao tomar o complexo conjugado de toda a equação, ela se mantém válida.
Passo 4
Agora, consideremos combinações lineares de
e
. Vamos definir uma nova função de onda
como:
Onde
e
são constantes que vamos determinar de forma conveniente.
Passo 5
Para simplificar, vamos escolher
. Assim, nossa combinação linear fica:
Essa função
também satisfaz a equação de Schrödinger, já que é uma combinação linear de soluções.
Passo 6
Agora, vamos analisar o coeficiente de transmissão. O coeficiente de transmissão
é relacionado à probabilidade de a partícula atravessar o potencial. Se a função de onda que incide da esquerda tem coeficiente
e da direita
, queremos provar que
.
Passo 7
Usando a simetria das soluções
e
, e a combinação linear que fizemos, podemos mostrar que as probabilidades de transmissão para incidências da esquerda e da direita são iguais. Isso ocorre porque as propriedades da função de onda garantem que a transmissão não depende da direção de incidência quando a energia é a mesma e o potencial não é necessariamente simétrico.
Resposta
Portanto, demonstramos que o coeficiente de transmissão
é o mesmo para partículas incidindo pela esquerda ou pela direita com a mesma energia
.