A haste OA gira em torno de O em um plano horizontal. O movimento do colar B de 0,5 lb é definido pelas relações r=10+6 cos pi t e theta=pi(4 t^2-8 t) onde r é expresso em polegadas, t em segundos e theta em radianos. Determine os componentes radiais e transversais da força exercida no colar quando (a) t=0, (b) t=0,5 s.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma haste que gira em torno de um ponto O, e um colar B que se move conforme duas funções que descrevem sua posição no tempo. O objetivo é determinar os componentes da força que atuam no colar nas direções radial e transversal nos instantes segundos e segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular e forças centrípetas e transversais. Vamos seguir passo a passo para encontrar as duas componentes da força.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem a posição do colar B:
r(t) = 10 + 6 cos(pi t) (em po<=gadas)
theta(t) = pi (4t^2 - 8t) (em radianos)
Aqui, é a distância do colar ao ponto O, e é o ângulo em relação a uma referência fixa.

Passo 3

Para encontrar as forças, precisamos calcular as acelerações nas direções radial e transversal. As fórmulas para as componentes da aceleração em coordenadas polares são:
ar = ddotr - r dottheta^2
atheta = r ddottheta + 2 dotr dottheta
Onde:
  • é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade radial).
  • é a segunda derivada de (aceleração radial).
  • é a primeira derivada de (velocidade angular).
  • é a segunda derivada de (aceleração angular).

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada de dotr(t) = ddt [10 + 6 cos(pi t)] = -6pi sin(pi t) :
ddotr(t) = ddt [-6pi sin(pi t)] = -6pi^2 cos(pi t)
Segunda derivada de dottheta(t) = ddt [pi (4t^2 - 8t)] = pi (8t - 8) :
ddottheta(t) = ddt [pi (8t - 8)] = 8pi
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas nas fórmulas das acelerações radial e transversal:
ar(t) = ddotr(t) - r(t) dottheta^2(t)
atheta(t) = r(t) ddottheta(t) + 2 dotr(t) dottheta(t)
Vamos calcular e para os momentos e segundos.

Passo 6

Para r(0) = 10 + 6 cos(0) = 10 + 6(1) = 16 po<=gadas segundos:
Calculamos dotr(0) = -6pi sin(0) = 0 , ddotr(0) = -6pi^2 cos(0) = -6pi^2 po<=gadas/s² , dottheta(0) = pi (0 - 8) = -8pi rad/s , ddottheta(0) = 8pi rad/s² , e ar(0) = -6pi^2 - 16(-8pi)^2 = -6pi^2 - 16(64pi^2) = -6pi^2 - 1024pi^2 = -1030pi^2 po<=gadas/s² :
atheta(0) = 16(8pi) + 2(0)(-8pi) = 128pi po<=gadas/s²
²
²
Agora, substituímos na fórmula das acelerações:
²
²

Passo 7

Para r(0,5) = 10 + 6 cos(pi cdot 0,5) = 10 + 6 cos(pi2) = 10 + 6(0) = 10 po<=gadas segundos:
Calculamos dotr(0,5) = -6pi sin(pi2) = -6pi (1) = -6pi po<=gadas/s , ddotr(0,5) = -6pi^2 cos(pi2) = -6pi^2(0) = 0 po<=gadas/s² , dottheta(0,5) = pi (8 cdot 0,5 - 8) = pi (4 - 8) = -4pi rad/s , ddottheta(0,5) = 8pi rad/s² , e ar(0,5) = 0 - 10(-4pi)^2 = -10(16pi^2) = -160pi^2 po<=gadas/s² :
atheta(0,5) = 10(8pi) + 2(-6pi)(-4pi) = 80pi + 48pi^2 po<=gadas/s²
²
²
Substituindo na fórmula das acelerações:
²
²

Passo 8

Agora, precisamos converter a força peso do colar de pounds força (lb) para mass em slugs para usar nas equações W = m cdot g .
Sabemos que:
m = Wg = 0,5386 approx 0,001295 slugs
Onde:
  • lb
  • polegadas/s² (aceleração da gravidade)
Então, a massa é:

Passo 9

Finalmente, calculamos as componentes da força nas direções radial e transversal usando Fr(0) = 0,001295 cdot (-1030pi^2) approx -0,001295 cdot 1030 cdot 9,87 approx -13,2 lb :
Para Ftheta(0) = 0,001295 cdot 128pi approx 0,001295 cdot 128 cdot 3,14 approx 0,52 lb segundos:
Fr(0,5) = 0,001295 cdot (-160pi^2) approx -0,001295 cdot 160 cdot 9,87 approx -2,05 lb
Ftheta(0,5) = 0,001295 cdot (80pi + 48pi^2) approx 0,001295 cdot (251,2 + 473,7) approx 0,001295 cdot 724,9 approx 0,94 lb
Para segundos:

Resposta

As componentes da força exercida no colar são:
(a) Quando segundos:
  • Força radial:
  • Força transversal:
(b) Quando segundos:
  • Força radial:
  • Força transversal:

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