A haste OA gira em torno de O em um plano horizontal. O movimento do colar B de é definido pelas relações e onde r é expresso em polegadas, em segundos e em radianos. Determine os componentes radiais e transversais da força exercida no colar quando (a) , (b) .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma haste que gira em torno de um ponto O, e um colar B que se move conforme duas funções que descrevem sua posição no tempo. O objetivo é determinar os componentes da força que atuam no colar nas direções radial e transversal nos instantes segundos e segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular e forças centrípetas e transversais. Vamos seguir passo a passo para encontrar as duas componentes da força.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem a posição do colar B:
Aqui, é a distância do colar ao ponto O, e é o ângulo em relação a uma referência fixa.

Passo 3

Para encontrar as forças, precisamos calcular as acelerações nas direções radial e transversal. As fórmulas para as componentes da aceleração em coordenadas polares são:
Onde:
  • é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade radial).
  • é a segunda derivada de (aceleração radial).
  • é a primeira derivada de (velocidade angular).
  • é a segunda derivada de (aceleração angular).

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas nas fórmulas das acelerações radial e transversal:
Vamos calcular e para os momentos e segundos.

Passo 6

Para segundos:
Calculamos , , , , e :
²
²
Agora, substituímos na fórmula das acelerações:
²
²

Passo 7

Para segundos:
Calculamos , , , , e :
²
²
Substituindo na fórmula das acelerações:
²
²

Passo 8

Agora, precisamos converter a força peso do colar de pounds força (lb) para mass em slugs para usar nas equações .
Sabemos que:
Onde:
  • lb
  • polegadas/s² (aceleração da gravidade)
Então, a massa é:

Passo 9

Finalmente, calculamos as componentes da força nas direções radial e transversal usando :
Para segundos:
Para segundos:

Resposta

As componentes da força exercida no colar são:
(a) Quando segundos:
  • Força radial:
  • Força transversal:
(b) Quando segundos:
  • Força radial:
  • Força transversal:

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