A haste OA gira em torno de O em um plano horizontal. O movimento do colar B de
é definido pelas relações
e
onde r é expresso em polegadas,
em segundos e
em radianos. Determine os componentes radiais e transversais da força exercida no colar quando (a)
, (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma haste que gira em torno de um ponto O, e um colar B que se move conforme duas funções que descrevem sua posição no tempo. O objetivo é determinar os componentes da força que atuam no colar nas direções radial e transversal nos instantes
segundos e
segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular e forças centrípetas e transversais. Vamos seguir passo a passo para encontrar as duas componentes da força.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem a posição do colar B:
Aqui,
é a distância do colar ao ponto O, e
é o ângulo em relação a uma referência fixa.
Passo 3
Para encontrar as forças, precisamos calcular as acelerações nas direções radial e transversal. As fórmulas para as componentes da aceleração em coordenadas polares são:
Onde:
-
é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade radial). -
é a segunda derivada de (aceleração radial). -
é a primeira derivada de (velocidade angular). -
é a segunda derivada de (aceleração angular).
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada de
:
Segunda derivada de
:
Primeira derivada de
:
Segunda derivada de
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas nas fórmulas das acelerações radial e transversal:
Vamos calcular
e
para os momentos
e
segundos.
Passo 6
Para
segundos:
Calculamos
,
,
,
, e
:
Agora, substituímos na fórmula das acelerações:
Passo 7
Para
segundos:
Calculamos
,
,
,
, e
:
Substituindo na fórmula das acelerações:
Passo 8
Agora, precisamos converter a força peso do colar de pounds força (lb) para mass em slugs para usar nas equações
.
Sabemos que:
Onde:
-
lb -
polegadas/s² (aceleração da gravidade)
Então, a massa
é:
Passo 9
Finalmente, calculamos as componentes da força nas direções radial e transversal usando
:
Para
segundos:
Para
segundos:
Resposta
As componentes da força exercida no colar são:
(a) Quando
segundos:
- Força radial:
- Força transversal:
(b) Quando
segundos:
- Força radial:
- Força transversal: