Uma máquina para empacotamento automático de açúcar produz pacotes cujo peso liquido é uma v.a. com distribuição normal com média 8 g e desvio padrão 2 g . Qual a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso ter um peso superior a 8.5 g ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma máquina que empacota açúcar automaticamente, e o peso de cada pacote segue uma distribuição normal com média de 8 gramas e desvio padrão de 2 gramas. A pergunta é: qual a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso pesar mais de 8,5 gramas? Vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e padronização para resolver isso.

Passo 2

Para encontrar essa probabilidade, vamos primeiro transformar o valor de 8,5 gramas em um z-score. O z-score nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula para calcular o z-score é:
z = X - musigma
onde:
  • é o valor que queremos encontrar a probabilidade (8,5 g),
  • é a média (8 g),
  • é o desvio padrão (2 g).

Passo 3

Vamos calcular o z-score com os valores fornecidos:
z = 8,5 - 82 = 0,52 = 0,25
Então, o z-score é 0,25.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de um pacote ter um peso superior a 8,5 gramas. Isso equivale a encontrar a área à direita de na curva da distribuição normal padrão. Podemos usar tabelas de distribuição normal ou uma calculadora para encontrar essa probabilidade.

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que a probabilidade acumulada até é aproximadamente 0,5987. Isso significa que 59,87% dos pacotes têm peso até 8,5 gramas.

Passo 6

Como queremos a probabilidade de um pacote pesar mais de 8,5 gramas, subtraímos essa probabilidade de 1:
P(X > 8,5) = 1 - 0,5987 = 0,4013

Resposta

A probabilidade de um pacote escolhido ao acaso ter um peso superior a 8,5 gramas é de aproximadamente 40,13%.

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