Um hospital observou o tempo, em minutos, que 100 pacientes tiveram que esperar até serem atendidos por um médico. Os dados obtidos estão na tabela a seguir:
Tempo de <br> espera |
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---|---|
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13 |
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25 |
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30 |
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16 |
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9 |
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5 |
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2 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com os tempos de espera de 100 pacientes num hospital, organizados em intervalos de minutos. Nosso objetivo é calcular a média, a moda, a mediana, o desvio padrão, o primeiro quartil e também determinar se os dados são simétricos ou assimétricos (assimetria). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre estatística descritiva, que é a parte da matemática que analisa e resume conjuntos de dados.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados para facilitar nossos cálculos. Temos os intervalos de tempo de espera e a quantidade de pacientes em cada intervalo. Para calcular medidas como a média e o desvio padrão, precisamos encontrar o ponto médio de cada intervalo, que representa o valor típico daquele intervalo.
Vamos calcular os pontos médios:
Tempo de espera | Número de pacientes | Ponto Médio (
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---|---|---|
0 – 5 | 13 |
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5 – 10 | 25 |
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10 – 15 | 30 |
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15 – 20 | 16 |
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20 – 30 | 9 |
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30 – 45 | 5 |
|
45 – 60 | 2 |
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Passo 3
Agora, vamos calcular a média aritmética dos tempos de espera. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações. No caso de dados agrupados, usamos a fórmula:
Onde
é a frequência de cada intervalo,
é o ponto médio, e
é o total de pacientes.
Vamos calcular
:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 4
Vamos encontrar a moda, que é o valor que mais se repete nos dados. Como temos dados agrupados, a moda está no intervalo com a maior frequência. Observando a tabela, o intervalo com mais pacientes é 10 – 15 minutos, com 30 pacientes.
Para dados agrupados, podemos usar a fórmula da moda:
Onde:
-
é o limite inferior do intervalo modal -
é a frequência do intervalo modal -
é a frequência do intervalo anterior -
é a frequência do intervalo seguinte -
é a amplitude do intervalo
Vamos identificar os valores:
- Intervalo modal: 10 – 15
-
-
-
(intervalo 5 – 10) -
(intervalo 15 – 20) -
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular a mediana, que é o valor que divide os dados ao meio, ou seja, 50% dos pacientes esperam menos que a mediana e 50% mais.
Primeiro, precisamos encontrar em qual intervalo está a mediana. Como temos 100 pacientes, a mediana está no 50º valor.
Vamos construir a tabela de frequência cumulativa:
Tempo de espera | Número de pacientes | Frequência cumulativa |
---|---|---|
0 – 5 | 13 | 13 |
5 – 10 | 25 | 38 (=13+25) |
10 – 15 | 30 | 68 (=38+30) |
15 – 20 | 16 | 84 (=68+16) |
20 – 30 | 9 | 93 (=84+9) |
30 – 45 | 5 | 98 (=93+5) |
45 – 60 | 2 | 100 |
O 50º paciente está no intervalo 10 – 15 minutos. Para encontrar a mediana, usamos a fórmula:
Onde:
-
(limite inferior do intervalo da mediana) -
-
(frequência cumulativa antes do intervalo da mediana) -
(frequência do intervalo da mediana) -
(amplitude do intervalo)
Substituindo:
Passo 6
Vamos calcular o desvio padrão, que mede a dispersão dos dados em relação à média. Para dados agrupados, usamos a fórmula:
Onde:
-
minutos (média) -
é a frequência de cada intervalo -
é o ponto médio -
Primeiro, vamos calcular cada termo
:
Tempo de espera |
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---|---|---|---|---|---|
0 – 5 | 13 | 2.5 |
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5 – 10 | 25 | 7.5 |
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10 – 15 | 30 | 12.5 |
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15 – 20 | 16 | 17.5 |
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20 – 30 | 9 | 25 |
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30 – 45 | 5 | 37.5 |
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45 – 60 | 2 | 52.5 |
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Agora, somamos todos os valores de
:
Então, o desvio padrão é:
Passo 7
Vamos determinar o primeiro quartil (Q1), que é o valor abaixo do qual 25% dos dados estão. Para 100 pacientes, o primeiro quartil está no 25º valor.
Consultando a tabela de frequência cumulativa:
Tempo de espera | Número de pacientes | Frequência cumulativa |
---|---|---|
0 – 5 | 13 | 13 |
5 – 10 | 25 | 38 |
10 – 15 | 30 | 68 |
15 – 20 | 16 | 84 |
20 – 30 | 9 | 93 |
30 – 45 | 5 | 98 |
45 – 60 | 2 | 100 |
O 25º paciente está no intervalo 5 – 10 minutos.
Usamos a fórmula para o quartil:
Onde:
-
(limite inferior do intervalo de Q1) -
-
(frequência cumulativa antes do intervalo de Q1) -
(frequência do intervalo de Q1) -
(amplitude do intervalo)
Substituindo:
Passo 8
Por fim, vamos classificar a assimetria dos dados. A assimetria indica se os dados estão distribuídos de maneira equilibrada ou se têm uma “cauda” para a direita ou para a esquerda.
Uma regra simples para classificar a assimetria usando média, mediana e moda:
- Assimetria positiva (assimetria à direita): Média > Mediana > Moda
- Assimetria negativa (assimetria à esquerda): Moda > Mediana > Média
- Distribuição simétrica: Média ≈ Mediana ≈ Moda
No nosso caso:
- Média ≈ 13.925
- Mediana = 12
- Moda ≈ 11.316
Observamos que:
Isso indica que a média é maior que a mediana, que por sua vez é maior que a moda. Portanto, os dados apresentam assimetria positiva (assimetria à direita).
Resposta
- Média: 13,925 minutos
- Moda: aproximadamente 11,316 minutos
- Mediana: 12 minutos
- Desvio Padrão: aproximadamente 9,918 minutos
- Primeiro Quartil (Q1): 7,4 minutos
- Assimetria: Positiva (assimetria à direita)