Um hospital observou o tempo, em minutos, que 100 pacientes tiveram que esperar até serem atendidos por um médico. Os dados obtidos estão na tabela a seguir:
Tempo de <br> espera N^circ de <br> pacientes
0 longmapsto 5 13
5 longmapsto 10 25
10-15 30
15 longmapsto 20 16
20-30 9
30-45 5
45-60 2
Calcule a média, a moda, a mediana, o desvio padrão, o primeiro quartil e classifique a assimetria desses dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com os tempos de espera de 100 pacientes num hospital, organizados em intervalos de minutos. Nosso objetivo é calcular a média, a moda, a mediana, o desvio padrão, o primeiro quartil e também determinar se os dados são simétricos ou assimétricos (assimetria). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre estatística descritiva, que é a parte da matemática que analisa e resume conjuntos de dados.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados para facilitar nossos cálculos. Temos os intervalos de tempo de espera e a quantidade de pacientes em cada intervalo. Para calcular medidas como a média e o desvio padrão, precisamos encontrar o ponto médio de cada intervalo, que representa o valor típico daquele intervalo.
Vamos calcular os pontos médios:
Tempo de espera Número de pacientes Ponto Médio ( xi)
0 – 5 13 (0 + 5)/2 = 2.5
5 – 10 25 (5 + 10)/2 = 7.5
10 – 15 30 (10 + 15)/2 = 12.5
15 – 20 16 (15 + 20)/2 = 17.5
20 – 30 9 (20 + 30)/2 = 25
30 – 45 5 (30 + 45)/2 = 37.5
45 – 60 2 (45 + 60)/2 = 52.5

Passo 3

Agora, vamos calcular a média aritmética dos tempos de espera. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações. No caso de dados agrupados, usamos a fórmula:
Média = sum (fi times xi)N é
Onde fi é a frequência de cada intervalo, xi é o ponto médio, e N é o total de pacientes.
Vamos calcular sum (fi times xi):
sum (fi times xi) = (13 times 2.5) + (25 times 7.5) + (30 times 12.5) + (16 times 17.5) + (9 times 25) + (5 times 37.5) + (2 times 52.5)
Calculando cada termo:
= 32.5 + 187.5 + 375 + 280 + 225 + 187.5 + 105 = 1392.5
Então,
Média = 1392.5100 = 13.925 minutos é

Passo 4

Vamos encontrar a moda, que é o valor que mais se repete nos dados. Como temos dados agrupados, a moda está no intervalo com a maior frequência. Observando a tabela, o intervalo com mais pacientes é 10 – 15 minutos, com 30 pacientes.
Para dados agrupados, podemos usar a fórmula da moda:
Moda = L + ( f1 - f02f1 - f0 - f2 ) times h
Onde:
  • L é o limite inferior do intervalo modal
  • f1 é a frequência do intervalo modal
  • f0 é a frequência do intervalo anterior
  • f2 é a frequência do intervalo seguinte
  • h é a amplitude do intervalo
Vamos identificar os valores:
  • Intervalo modal: 10 – 15
  • L = 10
  • f1 = 30
  • f0 = 25 (intervalo 5 – 10)
  • f2 = 16 (intervalo 15 – 20)
  • h = 5
Substituindo na fórmula:
Moda = 10 + ( 30 - 252 times 30 - 25 - 16 ) times 5 = 10 + ( 560 - 25 - 16 ) times 5 = 10 + ( 519 ) times 5 approx 10 + 1.3158 approx 11.3158 minutos

Passo 5

Vamos calcular a mediana, que é o valor que divide os dados ao meio, ou seja, 50% dos pacientes esperam menos que a mediana e 50% mais.
Primeiro, precisamos encontrar em qual intervalo está a mediana. Como temos 100 pacientes, a mediana está no 50º valor.
Vamos construir a tabela de frequência cumulativa:
Tempo de espera Número de pacientes Frequência cumulativa
0 – 5 13 13
5 – 10 25 38 (=13+25)
10 – 15 30 68 (=38+30)
15 – 20 16 84 (=68+16)
20 – 30 9 93 (=84+9)
30 – 45 5 98 (=93+5)
45 – 60 2 100
O 50º paciente está no intervalo 10 – 15 minutos. Para encontrar a mediana, usamos a fórmula:
Mediana = L + ( N2 - Ff ) times h
Onde:
  • L = 10 (limite inferior do intervalo da mediana)
  • N = 100
  • F = 38 (frequência cumulativa antes do intervalo da mediana)
  • f = 30 (frequência do intervalo da mediana)
  • h = 5 (amplitude do intervalo)
Substituindo:
Mediana = 10 + ( 50 - 3830 ) times 5 = 10 + ( 1230 ) times 5 = 10 + 2 = 12 minutos

Passo 6

Vamos calcular o desvio padrão, que mede a dispersão dos dados em relação à média. Para dados agrupados, usamos a fórmula:
sigma = raiz sum fi (xi - barx)^2N
Onde:
  • barx = 13.925 minutos (média)
  • fi é a frequência de cada intervalo
  • xi é o ponto médio
  • N = 100
Primeiro, vamos calcular cada termo fi (xi - barx)^2:
Tempo de espera fi xi xi - barx (xi - barx)^2 fi(xi - barx)^2
0 – 5 13 2.5 2.5 - 13.925 = -11.425 130.322 13 times 130.322 = 1694.186
5 – 10 25 7.5 7.5 - 13.925 = -6.425 41.341 25 times 41.341 = 1033.525
10 – 15 30 12.5 12.5 - 13.925 = -1.425 2.031 30 times 2.031 = 60.925
15 – 20 16 17.5 17.5 - 13.925 = 3.575 12.787 16 times 12.787 = 204.592
20 – 30 9 25 25 - 13.925 = 11.075 122.653 9 times 122.653 = 1103.877
30 – 45 5 37.5 37.5 - 13.925 = 23.575 556.357 5 times 556.357 = 2781.785
45 – 60 2 52.5 52.5 - 13.925 = 38.575 1482.710 2 times 1482.710 = 2965.420
Agora, somamos todos os valores de fi(xi - barx)^2:
sum fi (xi - barx)^2 = 1694.186 + 1033.525 + 60.925 + 204.592 + 1103.877 + 2781.785 + 2965.420 = 9834.325
Então, o desvio padrão é:
sigma = raiz 9834.325100 = raiz98.34325 approx 9.918 minutos

Passo 7

Vamos determinar o primeiro quartil (Q1), que é o valor abaixo do qual 25% dos dados estão. Para 100 pacientes, o primeiro quartil está no 25º valor.
Consultando a tabela de frequência cumulativa:
Tempo de espera Número de pacientes Frequência cumulativa
0 – 5 13 13
5 – 10 25 38
10 – 15 30 68
15 – 20 16 84
20 – 30 9 93
30 – 45 5 98
45 – 60 2 100
O 25º paciente está no intervalo 5 – 10 minutos.
Usamos a fórmula para o quartil:
Q1 = L + ( N4 - Ff ) times h
Onde:
  • L = 5 (limite inferior do intervalo de Q1)
  • N = 100
  • F = 13 (frequência cumulativa antes do intervalo de Q1)
  • f = 25 (frequência do intervalo de Q1)
  • h = 5 (amplitude do intervalo)
Substituindo:
Q1 = 5 + ( 25 - 1325 ) times 5 = 5 + ( 1225 ) times 5 = 5 + 2.4 = 7.4 minutos

Passo 8

Por fim, vamos classificar a assimetria dos dados. A assimetria indica se os dados estão distribuídos de maneira equilibrada ou se têm uma “cauda” para a direita ou para a esquerda.
Uma regra simples para classificar a assimetria usando média, mediana e moda:
  • Assimetria positiva (assimetria à direita): Média > Mediana > Moda
  • Assimetria negativa (assimetria à esquerda): Moda > Mediana > Média
  • Distribuição simétrica: Média ≈ Mediana ≈ Moda
No nosso caso:
  • Média ≈ 13.925
  • Mediana = 12
  • Moda ≈ 11.316
Observamos que:
13.925 > 12 > 11.316
Isso indica que a média é maior que a mediana, que por sua vez é maior que a moda. Portanto, os dados apresentam assimetria positiva (assimetria à direita).

Resposta

  • Média: 13,925 minutos
  • Moda: aproximadamente 11,316 minutos
  • Mediana: 12 minutos
  • Desvio Padrão: aproximadamente 9,918 minutos
  • Primeiro Quartil (Q1): 7,4 minutos
  • Assimetria: Positiva (assimetria à direita)

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