i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa fazer três coisas: desenhar o gráfico aplicando transformações, descobrir o domínio e a imagem além dos interceptos nos eixos, e analisar o comportamento da função. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais, transformações de gráfico, e propriedades de domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função. A função padrão que vamos usar é
, que é uma exponencial crescente que passa pelo ponto (0,1) e tem uma assíntota horizontal em
.
Agora, vamos aplicar as transformações na nossa função
:
-
Translação horizontal:
significa que o gráfico da função foi movido 3 unidades para a direita. Isso acontece porque a expressão dentro do expoente, , desloca a função na direção positiva do eixo x. -
Translação vertical: Subtrair 1, ou seja,
, move todo o gráfico 1 unidade para baixo no eixo y.
Então, começando com
, movemos 3 unidades para a direita e depois 1 unidade para baixo. O gráfico vai continuar sendo uma curva exponencial crescente, mas ajustado conforme essas transformações.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio, a imagem e os interceptos.
-
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para a função exponencial , o domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja, . -
Imagem: A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como
é sempre positivo e, ao subtrairmos 1, a função vai ter valores maiores que . Então, a imagem é . -
Intercepto no eixo y: Para encontrar o intercepto no eixo y, calculamos
: Então, o intercepto no eixo y é. -
Intercepto no eixo x: Para encontrar o intercepto no eixo x, resolvemos
: Então, o intercepto no eixo x é.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função:
-
Quando
vai para : Isso significa que à medida queaumenta sem limite, também cresce sem limite. -
Quando
vai para : Então, conformediminui cada vez mais, se aproxima de , mas nunca chega exatamente a . Isso confirma que é uma assíntota horizontal da função.
Resposta
Resumindo:
-
Gráfico: A função
é uma exponencial crescente que foi deslocada 3 unidades à direita e 1 unidade para baixo em relação ao gráfico padrão de . -
Domínio e Imagem:
- Domínio:
(todos os números reais). - Imagem:
.
- Domínio:
-
Interceptos:
- Intercepto no eixo y:
. - Intercepto no eixo x:
.
- Intercepto no eixo y:
-
Comportamento:
- Conforme
vai para , tende a . - Conforme
vai para , se aproxima de (assíntota horizontal).
- Conforme
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i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
Escreva uma fórmula para
e
e determine o domínio de cada uma.
Dada
, ache:
a)
a)
(b) Qual é a variável dependente?