i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
f(x) = e^(x - 3) - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa fazer três coisas: desenhar o gráfico aplicando transformações, descobrir o domínio e a imagem além dos interceptos nos eixos, e analisar o comportamento da função. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais, transformações de gráfico, e propriedades de domínio e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função. A função padrão que vamos usar é , que é uma exponencial crescente que passa pelo ponto (0,1) e tem uma assíntota horizontal em .
Agora, vamos aplicar as transformações na nossa função :
  1. Translação horizontal: significa que o gráfico da função foi movido 3 unidades para a direita. Isso acontece porque a expressão dentro do expoente, , desloca a função na direção positiva do eixo x.
  2. Translação vertical: Subtrair 1, ou seja, , move todo o gráfico 1 unidade para baixo no eixo y.
Então, começando com , movemos 3 unidades para a direita e depois 1 unidade para baixo. O gráfico vai continuar sendo uma curva exponencial crescente, mas ajustado conforme essas transformações.

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio, a imagem e os interceptos.
  • Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para a função exponencial , o domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .
  • Imagem: A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como é sempre positivo e, ao subtrairmos 1, a função vai ter valores maiores que . Então, a imagem é .
  • Intercepto no eixo y: Para encontrar o intercepto no eixo y, calculamos :
    Então, o intercepto no eixo y é .
  • Intercepto no eixo x: Para encontrar o intercepto no eixo x, resolvemos :
    Então, o intercepto no eixo x é .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função:
  • Quando vai para :
    Isso significa que à medida que aumenta sem limite, também cresce sem limite.
  • Quando vai para :
    Então, conforme diminui cada vez mais, se aproxima de , mas nunca chega exatamente a . Isso confirma que é uma assíntota horizontal da função.

Resposta

Resumindo:
  1. Gráfico: A função é uma exponencial crescente que foi deslocada 3 unidades à direita e 1 unidade para baixo em relação ao gráfico padrão de .
  2. Domínio e Imagem:
    • Domínio: (todos os números reais).
    • Imagem: .
  3. Interceptos:
    • Intercepto no eixo y: .
    • Intercepto no eixo x: .
  4. Comportamento:
    • Conforme vai para , tende a .
    • Conforme vai para , se aproxima de (assíntota horizontal).

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i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
f(x) = raiz(x - 2) + 1
Escreva uma fórmula para f(g) e g(f) e determine o domínio de cada uma.
f(x) = raiz(x + 1), g(x) = 1/x
Dada f(x) = x^2 - 2x, ache:
a) f(1)
(b) Qual é a variável dependente?