i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para analisar a função
. O que precisamos fazer aqui é:
- Fazer o gráfico da função usando transformações de uma função padrão.
- Determinar o domínio e a imagem da função.
- Encontrar os pontos de interseção com os eixos
e . - Estudar o comportamento da função.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções, transformações de gráficos, e propriedades das funções de raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função padrão
. É uma curva que começa no ponto (0,0) e vai subindo suavemente para a direita.
Agora, queremos transformar essa função para chegar na nossa
. Vamos ver cada transformação:
-
dentro da raiz significa que vamos transladar o gráfico 2 unidades para a direita. - +1 fora da raiz significa que vamos transladar o gráfico 1 unidade para cima.
Então, pegando o gráfico de
, primeiro movemos 2 para a direita e depois 1 para cima.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Para
, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio é
.
A imagem (ou contradomínio) é o conjunto dos valores que
pode assumir. Como a raiz quadrada sempre dá valores maiores ou iguais a zero, e depois somamos 1, a imagem será
.
Passo 4
Vamos achar os pontos de interseção com os eixos.
-
Interseção com o eixo
: ocorre quando . Mas no nosso domínio, deve ser maior ou igual a 2. Então não há interseção com o eixo . -
Interseção com o eixo
: ocorre quando .
A raiz quadrada nunca é negativa, então não há interseção com o eixo
.
Passo 5
Por último, vamos estudar o comportamento da função.
- À medida que
aumenta, também aumenta, então vai aumentando sem limites. - Quando
se aproxima de 2, se aproxima de 0, então se aproxima de 1.
Portanto, a função começa no ponto (2,1) e cresce para a direita, subindo suavemente.
Resposta
A função
está definida para
, tem imagem
, não intercepta os eixos
e
, e seu gráfico começa no ponto (2,1) subindo continuamente para a direita.