i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
f(x) = raiz(x - 2) + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para analisar a função . O que precisamos fazer aqui é:
  1. Fazer o gráfico da função usando transformações de uma função padrão.
  2. Determinar o domínio e a imagem da função.
  3. Encontrar os pontos de interseção com os eixos e .
  4. Estudar o comportamento da função.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções, transformações de gráficos, e propriedades das funções de raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função padrão . É uma curva que começa no ponto (0,0) e vai subindo suavemente para a direita.
Agora, queremos transformar essa função para chegar na nossa . Vamos ver cada transformação:
  • dentro da raiz significa que vamos transladar o gráfico 2 unidades para a direita.
  • +1 fora da raiz significa que vamos transladar o gráfico 1 unidade para cima.
Então, pegando o gráfico de , primeiro movemos 2 para a direita e depois 1 para cima.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para , o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio é .
A imagem (ou contradomínio) é o conjunto dos valores que pode assumir. Como a raiz quadrada sempre dá valores maiores ou iguais a zero, e depois somamos 1, a imagem será .

Passo 4

Vamos achar os pontos de interseção com os eixos.
  • Interseção com o eixo : ocorre quando . Mas no nosso domínio, deve ser maior ou igual a 2. Então não há interseção com o eixo .
  • Interseção com o eixo : ocorre quando .
A raiz quadrada nunca é negativa, então não há interseção com o eixo .

Passo 5

Por último, vamos estudar o comportamento da função.
  • À medida que aumenta, também aumenta, então vai aumentando sem limites.
  • Quando se aproxima de 2, se aproxima de 0, então se aproxima de 1.
Portanto, a função começa no ponto (2,1) e cresce para a direita, subindo suavemente.

Resposta

A função está definida para , tem imagem , não intercepta os eixos e , e seu gráfico começa no ponto (2,1) subindo continuamente para a direita.

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