Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
i)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar a quádica dada pela equação
e fazer um esboço do seu gráfico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas e como elas se comportam no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da quádica. Podemos isolar o
:
Passo 3
Agora, vamos analisar essa equação. Observamos que
é igual a
, que é uma soma de termos quadráticos em
e
. Isso nos indica que estamos lidando com um paraboloide.
Passo 4
Para entender melhor, vamos lembrar que um paraboloide é uma superfície quadrática que tem a forma de uma parábola em uma direção e de círculos (ou elipses) nas seções perpendiculares. No nosso caso, como temos
, as seções horizontais serão círculos.
Passo 5
Além disso, como o coeficiente de
está positivo (
), isso significa que o paraboloide está aberto para cima. O termo constante
indica que o vértice do paraboloide está deslocado 4 unidades abaixo do plano
.
Passo 6
Vamos identificar o vértice da quádica. Como a equação reescrita é
, o vértice ocorre quando
e
:
Portanto, o vértice está no ponto
.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, podemos considerar alguns pontos adicionais. Por exemplo, quando
:
Isso representa um círculo de raio 2 no plano
quando
.
Passo 8
Outro ponto interessante é quando
:
Aqui temos outro círculo, agora com raio
, no plano
. Esse processo se repete conforme aumentamos
, criando círculos cada vez maiores, confirmando que a superfície é um paraboloide aberto para cima.
Resposta
A quádica
é um paraboloide circular parabólico aberto para cima, com vértice no ponto
. O esboço do gráfico apresenta círculos concêntricos com raios crescentes conforme
aumenta.