Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
i) x^2+y^2-z=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar a quádica dada pela equação e fazer um esboço do seu gráfico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas e como elas se comportam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da quádica. Podemos isolar o z = x^2 + y^2 - 4 :

Passo 3

Agora, vamos analisar essa equação. Observamos que é igual a , que é uma soma de termos quadráticos em e . Isso nos indica que estamos lidando com um paraboloide.

Passo 4

Para entender melhor, vamos lembrar que um paraboloide é uma superfície quadrática que tem a forma de uma parábola em uma direção e de círculos (ou elipses) nas seções perpendiculares. No nosso caso, como temos , as seções horizontais serão círculos.

Passo 5

Além disso, como o coeficiente de está positivo ( ), isso significa que o paraboloide está aberto para cima. O termo constante indica que o vértice do paraboloide está deslocado 4 unidades abaixo do plano .

Passo 6

Vamos identificar o vértice da quádica. Como a equação reescrita é z = 0 + 0 - 4 = -4 , o vértice ocorre quando e :
Portanto, o vértice está no ponto .

Passo 7

Para esboçar o gráfico, podemos considerar alguns pontos adicionais. Por exemplo, quando 0 = x^2 + y^2 - 4 implies x^2 + y^2 = 4 :
Isso representa um círculo de raio 2 no plano quando .

Passo 8

Outro ponto interessante é quando 1 = x^2 + y^2 - 4 implies x^2 + y^2 = 5 :
Aqui temos outro círculo, agora com raio , no plano . Esse processo se repete conforme aumentamos , criando círculos cada vez maiores, confirmando que a superfície é um paraboloide aberto para cima.

Resposta

A quádica é um paraboloide circular parabólico aberto para cima, com vértice no ponto . O esboço do gráfico apresenta círculos concêntricos com raios crescentes conforme aumenta.

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