Dados os pontos P=(1,2,4), Q=(2,3,2) e R=(2,1,-1), determine as coordenadas de um ponto S talque P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo. Esboçar o gráfico do paralelogramo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Queremos encontrar as coordenadas de um quarto ponto de maneira que e formem os vértices de um paralelogramo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Um paralelogramo tem lados opostos que são iguais e paralelos. Isso significa que os vetores que representam lados opostos têm a mesma direção e magnitude. Se considerarmos que e são lados opostos, então o vetor deve ser igual ao vetor .

Passo 3

Vamos calcular o vetor PQ = Q - P = (2-1, 3-2, 2-4) = (1, 1, -2) . O vetor é dado pela diferença das coordenadas de e :

Passo 4

Sabendo que RS = (1, 1, -2) , podemos escrever:
S = R + RS = (2+1, 1+1, -1+(-2)) = (3, 2, -3)
Como e , temos:

Passo 5

Portanto, as coordenadas do ponto são .

Resposta

As coordenadas do ponto são .

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