Imagine que grandes placas de níquel puro a uma temperatura inicial de 20^circ C serão aquecidas em um forno industrial. Sabe-se que cada placa tem uma espessura de 6 cm , e que a temperatura no interior do forno é de 600^circ C. Além disso o coeficiente convectivo no ambiente interno do forno é igual a 160 W / m^2.K. Sabendo que as placas ficam no forno até atingirem uma temperatura superficial de 350^circ C, determine por quanto tempo (em segundos) as placas devem permanecer no interior do forno antes de serem retiradas. Despreze os efeitos de radiação.
Melting
Point
lccccc & c Me
c $rho$ $(kg / m^3)$
c $cp$ $(J / kg cdot K)$
c $k$ $(W / m cdot K)$
c $alpha cdot 10^6$ $(m^2 / s)$
c Composition
c Aluminum Pure
c Copper Pure
c Iron Pure
Composition
933 2702 903 237 97.1
Aluminum
Pure
1358 8933 385 401 117
Copper
Pure
1810 7870 447 80.2 23.1
Iron
Pure
1728 8900 444 90.7 23.0
Nickel
Pure
2045 21450 133 71.6 25.1
Platinum
Pure

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre como aquecer grandes placas de níquel puro em um forno industrial. A temperatura inicial das placas é de 20^circ C e elas vão ser aquecidas até a superfície chegar em 350^circ C. O forno está a 600^circ C e o coeficiente convectivo é de 160 , W/m^2cdotK. Cada placa tem uma espessura de 6 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo (em segundos) as placas precisam ficar no forno para atingir a temperatura desejada na superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especialmente a condução térmica em regime transiente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar o problema usando o método de capacitância concentrada (ou método lumped). Para isso, calculamos o número de Biot ( Bi), que nos ajuda a saber se a condução interna é negligenciável comparada à transferência de calor na superfície.
A fórmula do número de Biot é:
Bi = h cdot Lck
onde:
  • h = 160 , W/m^2cdotK (coeficiente convectivo)
  • Lc é o comprimento característico, que para uma placa é geralmente a metade da espessura, então Lc = 0,062 = 0,03 , m
  • k = 71,6 , W/mcdotK (condutividade térmica do níquel)
Calculando:
Bi = 160 times 0,0371,6 approx 0,067
Como Bi < 0,1, podemos usar o método de capacitância concentrada, o que simplifica nossos cálculos.

Passo 3

No método de capacitância concentrada, a variação de temperatura no objeto é considerada uniforme ao longo dele. A equação que descreve essa situação é:
T(t) - TinftyTi - Tinfty = e^-h Am cp t
Mas uma forma mais simples de usar essa abordagem é:
T(t) = Tinfty + (Ti - Tinfty) e^-hrho cp L t
Rearranjando para encontrar o tempo t:
t = -rho cp Lh ln(T(t) - TinftyTi - Tinfty)
Onde:
  • T(t) = 350^circ C (temperatura desejada na superfície)
  • Tinfty = 600^circ C (temperatura do forno)
  • Ti = 20^circ C (temperatura inicial)
  • rho = 21450 , kg/m^3 (massa específica do níquel puro)
  • cp = 133 , J/kgcdotK (calor específico do níquel)
  • L = 0,06 , m (espessura da placa)

Passo 4

Vamos substituir os valores na equação para encontrar t:
t = -21450 times 133 times 0,06160 ln(350 - 60020 - 600)
Primeiro, calculamos o argumento do logaritmo:
350 - 60020 - 600 = -250-580 approx 0,431
Agora, o logaritmo natural:
ln(0,431) approx -0,841
Substituindo de volta:
t = -21450 times 133 times 0,06160 times (-0,841)
Calculando o numerador:
21450 times 133 times 0,06 = 21450 times 7,98 approx 171,111 , J
Dividindo por h:
171.111160 approx 1.069 , s
Multiplicando pelo logaritmo:
1.069 times 0,841 approx 0,900 , s

Resposta

As placas de níquel devem permanecer no forno por aproximadamente 0,90 segundos antes de serem retiradas.

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