Imagine uma pista de patinação no gelo com formato circular que tenha um diâmetro de 15 m . Essa pista está coberta por uma cúpula hemisférica com 20 m diâmetro. Aproximando tanto a superfície da cúpula quanto a superficie da pista de gelo como corpos negros e considerando que a superfície da pista de gelo encontra-se a uma temperatura de
e a superfície da cúpula a uma temperatura de
, quantifique a taxa líquida de transferência de calor por radiação da cúpula para a pista. Apresente os valores dos fatores de forma F12 e F21. Considere a superfície 1 como a da pista de patinação e a superfície 2 como a da cúpula hemisférica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pista de patinação no gelo com formato circular, diâmetro de 15 metros, coberta por uma cúpula hemisférica de diâmetro 20 metros. Queremos encontrar a taxa líquida de transferência de calor por radiação da cúpula para a pista. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transferência de calor por radiação e calcular os fatores de forma $ F_{12} $ e $ F_{21} $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os fatores de forma $ F_{12} $ e $ F_{21} $. O fator de forma $ F_{12} $ representa a fração de energia irradiada pela superfície 1 (pista de patinação) que é recebida pela superfície 2 (cúpula), e $ F_{21} $ é o contrário.
Como a cúpula é hemisférica e cobre totalmente a pista, podemos usar a relação de reciprocidade para fatores de forma:
Onde $ A_1 $ e $ A_2 $ são as áreas das superfícies 1 e 2, respectivamente.
Vamos calcular as áreas:
- Área da pista de patinação (círculo de diâmetro 15 m):
- Área da cúpula hemisférica (metade da esfera de diâmetro 20 m):
Primeiro, o raio:
Área da esfera completa:
Área da cúpula hemisférica:
Agora, usando a relação de reciprocidade:
Como ambas as superfícies veem totalmente uma à outra (a cúpula cobre toda a pista), sabemos que $ F_{12} = F_{21} $. Então:
Para que isso seja verdadeiro, $ F_{12} $ deve ser:
Mas, como $ F_{12} + F_{13} = 1 $ e considerando que não há outras superfícies, podemos concluir que:
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa líquida de transferência de calor por radiação entre a cúpula e a pista. Usamos a lei de Stefan-Boltzmann:
Onde:
- $ \sigma = 5,67 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $ é a constante de Stefan-Boltzmann,
- $ A $ é a área da superfície emissora (cúpula),
- $ F $ é o fator de forma $ F_{21} $,
- $ T_2 $ e $ T_1 $ são as temperaturas absolutas das superfícies 2 (cúpula) e 1 (pista), respectivamente.
Primeiro, convertamos as temperaturas para Kelvin:
Agora, substituímos os valores:
Calculando os termos:
Então:
Resposta
A taxa líquida de transferência de calor por radiação da cúpula para a pista é de aproximadamente 10.320 W. Os fatores de forma são: