Imagine uma pista de patinação no gelo com formato circular que tenha um diâmetro de 15 m . Essa pista está coberta por uma cúpula hemisférica com 20 m diâmetro. Aproximando tanto a superfície da cúpula quanto a superficie da pista de gelo como corpos negros e considerando que a superfície da pista de gelo encontra-se a uma temperatura de -5^circ C e a superfície da cúpula a uma temperatura de 10^circ C, quantifique a taxa líquida de transferência de calor por radiação da cúpula para a pista. Apresente os valores dos fatores de forma F12 e F21. Considere a superfície 1 como a da pista de patinação e a superfície 2 como a da cúpula hemisférica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pista de patinação no gelo com formato circular, diâmetro de 15 metros, coberta por uma cúpula hemisférica de diâmetro 20 metros. Queremos encontrar a taxa líquida de transferência de calor por radiação da cúpula para a pista. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transferência de calor por radiação e calcular os fatores de forma $ F_{12} $ e $ F_{21} $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os fatores de forma $ F_{12} $ e $ F_{21} $. O fator de forma $ F_{12} $ representa a fração de energia irradiada pela superfície 1 (pista de patinação) que é recebida pela superfície 2 (cúpula), e $ F_{21} $ é o contrário.
Como a cúpula é hemisférica e cobre totalmente a pista, podemos usar a relação de reciprocidade para fatores de forma:
F12
Onde $ A_1 $ e $ A_2 $ são as áreas das superfícies 1 e 2, respectivamente.
Vamos calcular as áreas:
  • Área da pista de patinação (círculo de diâmetro 15 m):
F21
  • Área da cúpula hemisférica (metade da esfera de diâmetro 20 m):
Primeiro, o raio:
F12
Área da esfera completa:
F21
Área da cúpula hemisférica:
A1 F12 = A2 F21
Agora, usando a relação de reciprocidade:
A1
Como ambas as superfícies veem totalmente uma à outra (a cúpula cobre toda a pista), sabemos que $ F_{12} = F_{21} $. Então:
A2
Para que isso seja verdadeiro, $ F_{12} $ deve ser:
A1 = pi r1^2 = pi ( 152 )^2 = pi times 56,25 = 176,71 , m^2
Mas, como $ F_{12} + F_{13} = 1 $ e considerando que não há outras superfícies, podemos concluir que:
r2 = 202 = 10 , m

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa líquida de transferência de calor por radiação entre a cúpula e a pista. Usamos a lei de Stefan-Boltzmann:
Q = sigma A F (T2^4 - T1^4)
Onde:
  • $ \sigma = 5,67 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $ é a constante de Stefan-Boltzmann,
  • $ A $ é a área da superfície emissora (cúpula),
  • $ F $ é o fator de forma $ F_{21} $,
  • $ T_2 $ e $ T_1 $ são as temperaturas absolutas das superfícies 2 (cúpula) e 1 (pista), respectivamente.
Primeiro, convertamos as temperaturas para Kelvin:
sigma = 5,67 times 10^-8 , W/m^2K^4
A
Agora, substituímos os valores:
F
Calculando os termos:
F21
T2
T1
Então:
T2 = 10^circC = 283,15 , K
T1 = -5^circC = 268,15 , K
Q = 5,67 times 10^-8 times 628,32 times 0,281 times (283,15^4 - 268,15^4)
283,15^4 approx 6,430 times 10^9
268,15^4 approx 5,152 times 10^9
283,15^4 - 268,15^4 approx 1,278 times 10^9

Resposta

A taxa líquida de transferência de calor por radiação da cúpula para a pista é de aproximadamente 10.320 W. Os fatores de forma são:
F12 = 1
F21 approx 0,281

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