Imagine um sistema conservativo unidimensional. Nesse caso, temos que:
E=U(x)+K
sendo E a energia mecânica do sistema, U a energia potencial e K a energia cinética. Sabendo que E é constante, prove que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema conservativo unidimensional, onde a energia mecânica total $ E $ é a soma da energia potencial $ U(x) $ e da energia cinética $ K $. E, além disso, $ E $ é constante ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é provar uma relação importante que surge dessa conservação de energia. Para isso, vamos precisar entender como a energia potencial e a cinética se relacionam e como a conservação de energia nos ajuda a encontrar essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total $ E $ é dada por:
E
Como $ E $ é constante, podemos derivar essa equação em relação ao tempo $ t $ para ver como as energias potencial e cinética se comportam ao longo do tempo.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo:
dEdt = dUdt + dKdt
Como $ E $ é constante, $ \frac{dE}{dt} = 0 $. Então:
E

Passo 4

Agora, vamos expandir as derivadas. Lembrando que $ U $ é função de $ x $ e $ K $ é função de $ v $ (velocidade), onde $ v = \frac{dx}{dt} $:
U
x
onde $ m $ é a massa e $ a = \frac{dv}{dt} $ é a aceleração.

Passo 5

Substituindo essas expressões de volta na equação original:
0 = dUdx cdot v + m v cdot a
Podemos fatorar $ v $:
v

Passo 6

Para que essa equação seja verdadeira para qualquer velocidade $ v $, o termo dentro do parênteses deve ser zero:
v
Isolando a aceleração $ a $:
dUdx + m a = 0

Passo 7

Lembrando que a força $ F $ é relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton:
F
Então, substituindo na equação anterior:
F = m a

Resposta

Provamos que a força $ F $ que age no sistema é igual a menos a derivada da energia potencial em relação à posição:
F

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