Imagine um sistema conservativo unidimensional. Nesse caso, temos que:
sendo
a energia mecânica do sistema,
a energia potencial e
a energia cinética. Sabendo que
é constante, prove que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema conservativo unidimensional, onde a energia mecânica total $ E $ é a soma da energia potencial $ U(x) $ e da energia cinética $ K $. E, além disso, $ E $ é constante ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é provar uma relação importante que surge dessa conservação de energia. Para isso, vamos precisar entender como a energia potencial e a cinética se relacionam e como a conservação de energia nos ajuda a encontrar essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total $ E $ é dada por:
Como $ E $ é constante, podemos derivar essa equação em relação ao tempo $ t $ para ver como as energias potencial e cinética se comportam ao longo do tempo.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo:
Como $ E $ é constante, $ \frac{dE}{dt} = 0 $. Então:
Passo 4
Agora, vamos expandir as derivadas. Lembrando que $ U $ é função de $ x $ e $ K $ é função de $ v $ (velocidade), onde $ v = \frac{dx}{dt} $:
onde $ m $ é a massa e $ a = \frac{dv}{dt} $ é a aceleração.
Passo 5
Substituindo essas expressões de volta na equação original:
Podemos fatorar $ v $:
Passo 6
Para que essa equação seja verdadeira para qualquer velocidade $ v $, o termo dentro do parênteses deve ser zero:
Isolando a aceleração $ a $:
Passo 7
Lembrando que a força $ F $ é relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton:
Então, substituindo na equação anterior:
Resposta
Provamos que a força $ F $ que age no sistema é igual a menos a derivada da energia potencial em relação à posição: