5.2 Em uma certa região, J=3 r^2 cos theta ar-r^2 sen theta atheta A / m. Determine a corrente que atravessa a superfície definida por theta=30^circ, 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a corrente que passa por uma superfície específica. A gente está trabalhando com densidade de corrente em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração de vetores, especificamente a integral de superfície da densidade de corrente. Isso vai nos dar a corrente total atravessando a superfície definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície pela qual queremos calcular a corrente. A superfície está definida por:
  • theta = 30^circ
  • 0 < phi < 2pi
  • 0 < r < 2, m
Isso significa que estamos olhando para uma “faixa” esférica onde o ângulo theta é fixo em 30 graus, variando phi de 0 a 2pi e o raio r de 0 a 2 metros.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a corrente que atravessa uma superfície é dada pela integral da densidade de corrente sobre essa superfície:
I = integral duplaS J cdot n , dS
Aqui, J é a densidade de corrente, n é o vetor normal à superfície, e dS é o elemento de área da superfície.

Passo 4

Vamos identificar o vetor normal n para a superfície. Como a superfície está em theta = 30^circ, o vetor normal será na direção de atheta. Em coordenadas esféricas, o vetor normal é:
n = atheta

Passo 5

A densidade de corrente é dada por:
J = 3 r^2 cos theta , ar - r^2 sin theta , atheta , A/m
Vamos calcular o produto escalar J cdot n:
J cdot n = (3 r^2 cos theta , ar - r^2 sin theta , atheta) cdot atheta = - r^2 sin theta
Isso porque ar cdot atheta = 0 e atheta cdot atheta = 1.

Passo 6

O elemento de área dS em coordenadas esféricas para uma superfície theta constante é dado por:
dS = r^2 sin theta , dphi , dr

Passo 7

Agora, vamos montar a integral para a corrente:
I = integral duplaS J cdot n , dS = integral0^2pi integral0^2 (- r^2 sin theta) cdot r^2 sin theta , dr , dphi
Substituindo theta = 30^circ e sin 30^circ = 12:
I = integral0^2pi integral0^2 (- r^2 cdot 12) cdot r^2 cdot 12 , dr , dphi
I = -14 integral0^2pi integral0^2 r^4 , dr , dphi

Passo 8

Vamos resolver as integrais:
Primeiro, a integral em r:
integral0^2 r^4 , dr = [ r^55 ]0^2 = 325
Depois, a integral em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 9

Substituindo os valores encontrados na expressão da corrente:
I = -14 cdot 325 cdot 2pi = -3220 cdot 2pi = -3210 pi = -165 pi , A

Resposta

A corrente que atravessa a superfície definida é I = -dfrac165 pi ,A.

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