5.2 Em uma certa região,
. Determine a corrente que atravessa a superfície definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a corrente que passa por uma superfície específica. A gente está trabalhando com densidade de corrente em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração de vetores, especificamente a integral de superfície da densidade de corrente. Isso vai nos dar a corrente total atravessando a superfície definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície pela qual queremos calcular a corrente. A superfície está definida por:
Isso significa que estamos olhando para uma “faixa” esférica onde o ângulo
é fixo em 30 graus, variando
de 0 a
e o raio
de 0 a 2 metros.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a corrente que atravessa uma superfície é dada pela integral da densidade de corrente sobre essa superfície:
Aqui,
é a densidade de corrente,
é o vetor normal à superfície, e
é o elemento de área da superfície.
Passo 4
Vamos identificar o vetor normal
para a superfície. Como a superfície está em
, o vetor normal será na direção de
. Em coordenadas esféricas, o vetor normal é:
Passo 5
A densidade de corrente é dada por:
Vamos calcular o produto escalar
:
Isso porque
e
.
Passo 6
O elemento de área
em coordenadas esféricas para uma superfície
constante é dado por:
Passo 7
Agora, vamos montar a integral para a corrente:
Substituindo
e
:
Passo 8
Vamos resolver as integrais:
Primeiro, a integral em
:
Depois, a integral em
:
Passo 9
Substituindo os valores encontrados na expressão da corrente:
Resposta
A corrente que atravessa a superfície definida é
.