Imagine que nós temos um grupo formado por
mulheres e
homens. Imagine que nós temos
-
chapéus vermelhos
-
chapéus pretos
-
chapéus amarelos
-
chapéus brancos
a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas
pessoas.
E imagine que
- as mulheres devem usar chapéus vermelhos ou amarelos
- os homens devem usar chapéus pretos ou brancos
De quantas maneiras isso pode ser feito?
a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas
E imagine que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um grupo de
pessoas:
mulheres e
homens. Precisamos formar uma fila com essas pessoas, atribuindo chapéus com cores específicas:
- Mulheres só podem usar chapéus vermelhos ou amarelos.
- Homens só podem usar chapéus pretos ou brancos.
Além disso, temos exatamentechapéus de cada cor disponível (vermelhos, pretos, amarelos e brancos).
Vamos resolver isso usando conceitos de contagem e combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos distribuir os chapéus entre as mulheres e os homens separadamente, já que eles têm restrições de cores diferentes.
Para as mulheres:
- Temos
chapéus vermelhos e chapéus amarelos. - Precisamos atribuir esses chapéus para
mulheres.
Isso é como dividir
mulheres em dois grupos: um usando chapéus vermelhos e outro usando chapéus amarelos.
Passo 3
A quantidade de maneiras de dividir
mulheres em dois grupos de
cada (uma para vermelhos e outra para amarelos) é dada pelo coeficiente binomial:
Esse termo representa o número de maneiras de escolher
mulheres para usar chapéus vermelhos (e as restantes automaticamente usarão amarelos).
Passo 4
Para os homens:
- Temos
chapéus pretos e chapéus brancos. - Precisamos atribuir esses chapéus para
homens.
A lógica é a mesma das mulheres: dividir os homens em dois grupos de
cada (um para pretos e outro para brancos).
Passo 5
A quantidade de maneiras de dividir
homens em dois grupos de
cada é também:
Então, temos:
-
maneiras de distribuir os chapéus entre as mulheres. -
maneiras de distribuir os chapéus entre os homens.
Passo 6
Finalmente, após distribuir os chapéus, precisamos organizar as
pessoas em uma fila. O número de maneiras de organizar
pessoas é dado por
(fatorial de
).
Passo 7
Agora, para encontrar o número total de maneiras de fazer tudo isso, multiplicamos as opções de distribuição de chapéus pelas permutações da fila:
Resposta
O número total de maneiras de formar a fila é: