Imagine que nós temos um grupo formado por n mulheres e n homens. Imagine que nós temos
  • n / 2 chapéus vermelhos
  • n / 2 chapéus pretos
  • n / 2 chapéus amarelos
  • n / 2 chapéus brancos
    a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas 2 n pessoas.
    E imagine que
  • as mulheres devem usar chapéus vermelhos ou amarelos
  • os homens devem usar chapéus pretos ou brancos
De quantas maneiras isso pode ser feito?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um grupo de 2n pessoas: n mulheres e n homens. Precisamos formar uma fila com essas pessoas, atribuindo chapéus com cores específicas:
  • Mulheres só podem usar chapéus vermelhos ou amarelos.
  • Homens só podem usar chapéus pretos ou brancos.
    Além disso, temos exatamente n/2 chapéus de cada cor disponível (vermelhos, pretos, amarelos e brancos).
Vamos resolver isso usando conceitos de contagem e combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir os chapéus entre as mulheres e os homens separadamente, já que eles têm restrições de cores diferentes.
Para as mulheres:
  • Temos n/2 chapéus vermelhos e n/2 chapéus amarelos.
  • Precisamos atribuir esses chapéus para n mulheres.
Isso é como dividir n mulheres em dois grupos: um usando chapéus vermelhos e outro usando chapéus amarelos.

Passo 3

A quantidade de maneiras de dividir n mulheres em dois grupos de n/2 cada (uma para vermelhos e outra para amarelos) é dada pelo coeficiente binomial:
binomnn/2
Esse termo representa o número de maneiras de escolher n/2 mulheres para usar chapéus vermelhos (e as restantes automaticamente usarão amarelos).

Passo 4

Para os homens:
  • Temos n/2 chapéus pretos e n/2 chapéus brancos.
  • Precisamos atribuir esses chapéus para n homens.
A lógica é a mesma das mulheres: dividir os homens em dois grupos de n/2 cada (um para pretos e outro para brancos).

Passo 5

A quantidade de maneiras de dividir n homens em dois grupos de n/2 cada é também:
binomnn/2
Então, temos:
  • binomnn/2 maneiras de distribuir os chapéus entre as mulheres.
  • binomnn/2 maneiras de distribuir os chapéus entre os homens.

Passo 6

Finalmente, após distribuir os chapéus, precisamos organizar as 2n pessoas em uma fila. O número de maneiras de organizar 2n pessoas é dado por 2n! (fatorial de 2n).

Passo 7

Agora, para encontrar o número total de maneiras de fazer tudo isso, multiplicamos as opções de distribuição de chapéus pelas permutações da fila:
Total de maneiras = binomnn/2 times binomnn/2 times (2n)!

Resposta

O número total de maneiras de formar a fila é:
boxeddbinomnn/2 times dbinomnn/2 times (2n)!

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