Imagine que nós temos um grupo formado por
mulheres e
homens. Imagine que nós temos
-
chapéus vermelhos
-
chapéus pretos
-
chapéus amarelos
-
chapéus brancos
a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas
pessoas.
E imagine que
- as mulheres devem usar chapéus vermelhos ou amarelos
- os homens devem usar chapéus pretos ou brancos
De quantas maneiras isso pode ser feito?
a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas
E imagine que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um grupo de
pessoas:
mulheres e
homens. Precisamos formar uma fila com essas pessoas, atribuindo chapéus com cores específicas:
- Mulheres só podem usar chapéus vermelhos ou amarelos.
- Homens só podem usar chapéus pretos ou brancos.
Além disso, temos exatamentechapéus de cada cor disponível (vermelhos, pretos, amarelos e brancos).
Vamos resolver isso usando conceitos de contagem e combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos distribuir os chapéus entre as mulheres e os homens separadamente, já que eles têm restrições de cores diferentes.
Para as mulheres:
- Temos
chapéus vermelhos e chapéus amarelos. - Precisamos atribuir esses chapéus para
mulheres.
Isso é como dividir
mulheres em dois grupos: um usando chapéus vermelhos e outro usando chapéus amarelos.
Passo 3
A quantidade de maneiras de dividir
mulheres em dois grupos de
cada (uma para vermelhos e outra para amarelos) é dada pelo coeficiente binomial:
Esse termo representa o número de maneiras de escolher
mulheres para usar chapéus vermelhos (e as restantes automaticamente usarão amarelos).
Passo 4
Para os homens:
- Temos
chapéus pretos e chapéus brancos. - Precisamos atribuir esses chapéus para
homens.
A lógica é a mesma das mulheres: dividir os homens em dois grupos de
cada (um para pretos e outro para brancos).
Passo 5
A quantidade de maneiras de dividir
homens em dois grupos de
cada é também:
Então, temos:
-
maneiras de distribuir os chapéus entre as mulheres. -
maneiras de distribuir os chapéus entre os homens.
Passo 6
Finalmente, após distribuir os chapéus, precisamos organizar as
pessoas em uma fila. O número de maneiras de organizar
pessoas é dado por
(fatorial de
).
Passo 7
Agora, para encontrar o número total de maneiras de fazer tudo isso, multiplicamos as opções de distribuição de chapéus pelas permutações da fila:
Resposta
O número total de maneiras de formar a fila é:
Exercícios relacionados
Agora, considere o conjunto
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
, ambos com tamanho
, onde
- S só pode conter números ímpares
- T só pode conter números pares
imagine que todos os elementos de devem ser menores do que todos elementos de .
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que nós temos um grupo formado por
meninas e
meninos.
Imagine que nós queremos formar uma roda com essas crianças.
E imagine que Aninha (A) não quer ficar ao lado de um menino.
a) De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que nós queremos formar uma roda com essas crianças.
E imagine que Aninha (A) não quer ficar ao lado de um menino.
a) De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que nós temos um grupo formado por
casais.
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos onde
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
- S só pode conter mulheres
- T só pode conter homens
E imagine que T não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em S .
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que você tem uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas.
E imagine que você pode usar no máximo bolinhas vermelhas.
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com bolinhas vermelhas.
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de .
E depois resolva essa soma.
E imagine que você pode usar no máximo
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de
E depois resolva essa soma.