Independência do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício sobre Independência do Caminho, que é um conceito que aparece principalmente em cálculo vetorial e física. Basicamente, vamos ver quando o resultado de uma integral de linha (que calcula coisas como trabalho realizado por uma força) não depende do caminho que você escolhe para ir de um ponto A a um ponto B. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são campos conservativos e como verificar se um campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar chamada potencial, tal que:
Isso significa que o campo é o gradiente de alguma função potencial. A importância disso é que, se o campo for conservativo, a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido, apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Agora, como a gente verifica se um campo é conservativo? Uma maneira comum é checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, para um campo bidimensional , as seguintes condições devem ser verdadeiras:
Se essa igualdade for satisfeita em toda a região do campo, então o campo é conservativo, e a integral de linha será independente do caminho.

Passo 4

Vamos colocar isso em prática com um exemplo. Suponha que temos o campo:
Queremos saber se esse campo é conservativo. Para isso, identificamos e . Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Vimos que:
Como essas derivadas são iguais em toda a região considerada, concluímos que o campo é conservativo. Portanto, a integral de linha de entre dois pontos não depende do caminho escolhido.

Resposta

Então, o campo é conservativo, o que significa que a integral de linha é independente do caminho escolhido entre os pontos inicial e final.

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