Plano tangente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre plano tangente. Esse assunto faz parte da Geometria Analítica e Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano que toca uma superfície em apenas um ponto, sem cortar a superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a superfície e em qual ponto queremos encontrar o plano tangente. Vamos supor que a superfície é definida por uma função
e queremos encontrar o plano tangente nesse ponto específico
.
Passo 3
O próximo passo é calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções
e
no ponto dado. Matematicamente, calculamos
e
.
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Essa equação descreve o plano que toca a superfície exatamente no ponto
.
Passo 5
Se a superfície não está explicitamente resolvida para
, ou seja, se está em outra forma, podemos usar o gradiente para encontrar o plano tangente. O gradiente da função
no ponto dado fornece os coeficientes normais ao plano tangente.
Passo 6
Finalmente, substituímos os valores conhecidos do ponto e das derivadas na equação do plano tangente para obter a expressão final do plano.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é:
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O domínio
Assíntotas