Plano tangente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre plano tangente. Esse assunto faz parte da Geometria Analítica e Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano que toca uma superfície em apenas um ponto, sem cortar a superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a superfície e em qual ponto queremos encontrar o plano tangente. Vamos supor que a superfície é definida por uma função e queremos encontrar o plano tangente nesse ponto específico .

Passo 3

O próximo passo é calcular as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções e no ponto dado. Matematicamente, calculamos e .

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Essa equação descreve o plano que toca a superfície exatamente no ponto .

Passo 5

Se a superfície não está explicitamente resolvida para , ou seja, se está em outra forma, podemos usar o gradiente para encontrar o plano tangente. O gradiente da função no ponto dado fornece os coeficientes normais ao plano tangente.

Passo 6

Finalmente, substituímos os valores conhecidos do ponto e das derivadas na equação do plano tangente para obter a expressão final do plano.

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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