Se o índice de desemprego nas favelas de Londrina, segundo um levantamento efetuado por um grupo de universitários, é de 16 %, calcule a probabilidade de que em 3 chefes de familias entrevistados, tenhamos:
b) Mais da metade desempregado;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a probabilidade de, em 3 chefes de família entrevistados, mais da metade deles estarem desempregados. Primeiro, vamos entender que “mais da metade de 3” significa que pelo menos 2 chefes estão desempregados. Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, para resolver isso.

Passo 2

Para calcular essa probabilidade, vamos usar a fórmula da distribuição binomial. A distribuição binomial nos ajuda a encontrar a probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em n tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p. A fórmula é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • é a combinação de n itens tomados k a k.
  • é a probabilidade de sucesso (neste caso, desemprego, que é 16% ou 0,16).
  • é o número total de tentativas (3 chefes de família).
  • é o número de sucessos que queremos (2 ou 3 desempregados).

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de exatamente 2 chefes estarem desempregados ( P(2) = C(3, 2) times (0,16)^2 times (1-0,16)^3-2 ):
C(3, 2) = 3!2!(3-2)! = 3
Calculando P(2) = 3 times (0,16)^2 times (0,84)^1 approx 3 times 0,0256 times 0,84 approx 0,0645 ou 6,45% :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente 3 chefes estarem desempregados ( P(3) = C(3, 3) times (0,16)^3 times (1-0,16)^3-3 ):
C(3, 3) = 3!3!(3-3)! = 1
Calculando P(3) = 1 times (0,16)^3 times (0,84)^0 approx 1 times 0,004096 times 1 approx 0,004096 ou 0,41% :
Então,

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de mais da metade (ou seja, 2 ou 3) dos chefes estarem desempregados, somamos as probabilidades que calculamos:
P(mais da metade) = P(2) + P(3) approx 6,45% + 0,41% = 6,86%

Resposta

A probabilidade de, em 3 chefes de famílias entrevistados, mais da metade estarem desempregados é aproximadamente 6,86%.

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