Uma urna contém 9 bolas, sendo 5 bolas azuis e 4 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente e sucessivamente sem reposição, 3 bolas da urna, qual a probabilidade de obtermos 2 bolas azuis e 1 bola vermelha?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma urna com 9 bolas, onde 5 são azuis e 4 vermelhas. Vamos retirar 3 bolas uma após a outra, sem colocar de volta na urna. Queremos descobrir qual é a probabilidade de sair exatamente 2 bolas azuis e 1 bola vermelha.
Para resolver isso, vamos usar probabilidade combinatória, que nos ajuda a calcular as chances de diferentes combinações de eventos ocorrerem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular todas as possíveis maneiras de retirar 3 bolas da urna de 9 bolas. Isso é feito usando o cálculo de combinações, que nos diz quantas formas diferentes podemos escolher itens de um conjunto sem considerar a ordem.
A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde:
  • C(9, 3) = 9!3!(9 - 3)! = 9 times 8 times 73 times 2 times 1 = 84 é o total de itens,
  • é o número de itens a serem escolhidos,
  • representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Aplicando isso ao nosso caso:
Portanto, existem 84 maneiras diferentes de retirar 3 bolas da urna.

Passo 3

Agora, queremos saber quantas dessas 84 maneiras resultam em exatamente 2 bolas azuis e 1 vermelha. Para isso, vamos calcular separadamente:
  1. Escolher 2 bolas azuis de 5 disponíveis:
C(5, 2) = 5!2!(5 - 2)! = 5 times 42 times 1 = 10
  1. Escolher 1 bola vermelha de 4 disponíveis:
C(4, 1) = 4!1!(4 - 1)! = 4

Passo 4

Multiplicamos o número de maneiras de escolher as bolas azuis pelas maneiras de escolher a bola vermelha para obter o total de combinações favoráveis:
10 times 4 = 40
Então, existem 40 combinações que resultam em 2 bolas azuis e 1 vermelha.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações possíveis:
P = 4084 = 1021 approx 0,476

Resposta

A probabilidade de retirar exatamente 2 bolas azuis e 1 bola vermelha é de ou aproximadamente 47,6%.

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