Uma urna contém 9 bolas, sendo 5 bolas azuis e 4 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente e sucessivamente sem reposição, 3 bolas da urna, qual a probabilidade de obtermos 2 bolas azuis e 1 bola vermelha?
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma urna com 9 bolas, onde 5 são azuis e 4 vermelhas. Vamos retirar 3 bolas uma após a outra, sem colocar de volta na urna. Queremos descobrir qual é a probabilidade de sair exatamente 2 bolas azuis e 1 bola vermelha.
Para resolver isso, vamos usar probabilidade combinatória, que nos ajuda a calcular as chances de diferentes combinações de eventos ocorrerem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular todas as possíveis maneiras de retirar 3 bolas da urna de 9 bolas. Isso é feito usando o cálculo de combinações, que nos diz quantas formas diferentes podemos escolher itens de um conjunto sem considerar a ordem.
A fórmula para combinações é:
onde:
-
é o total de itens, -
é o número de itens a serem escolhidos, -
representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Aplicando isso ao nosso caso:
Portanto, existem 84 maneiras diferentes de retirar 3 bolas da urna.
Passo 3
Agora, queremos saber quantas dessas 84 maneiras resultam em exatamente 2 bolas azuis e 1 vermelha. Para isso, vamos calcular separadamente:
- Escolher 2 bolas azuis de 5 disponíveis:
- Escolher 1 bola vermelha de 4 disponíveis:
Passo 4
Multiplicamos o número de maneiras de escolher as bolas azuis pelas maneiras de escolher a bola vermelha para obter o total de combinações favoráveis:
Então, existem 40 combinações que resultam em 2 bolas azuis e 1 vermelha.
Passo 5
Finalmente, para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações possíveis:
Resposta
A probabilidade de retirar exatamente 2 bolas azuis e 1 bola vermelha é de
ou aproximadamente 47,6%.
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com
e
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e
são como segue:
Suponha que, dadas as doenças
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b) O paciente tem o sintoma
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