Um índio, munido de uma zarabatana, mira um macaco pendurado no galho de uma árvore, a uma altura
do solo. O índio dispara então um dardo com velocidade
em direção ao macaco e este, muito esperto e ágil, solta imediatamente o galho, iniciando o seu movimento de queda livre. A distância horizontal que separa o índio da linha de queda do macaco é
.
Determine o valor mínimo teórico de
, em função de
e
, para que o macaco seja atingido.
Importante: o problema deverá ser
resolvido iterativamente, sem fazer uso
de fórmulas prontas da Mecânica.
Determine o valor mínimo teórico de
Importante: o problema deverá ser
resolvido iterativamente, sem fazer uso
de fórmulas prontas da Mecânica.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um índio que está mirando um macaco pendurado numa árvore a uma altura $ H $ do chão, e a uma distância horizontal $ D $ dele. Quando o índio dispara o dardo com velocidade inicial $ v_0 $, o macaco solta o galho e começa a cair livremente. A pergunta é: qual é a velocidade mínima $ v_0 $ que o índio precisa dar ao dardo para acertar o macaco enquanto ele está caindo?
Aqui, estamos lidando com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com as causas desse movimento. Vamos precisar usar as equações dos movimentos uniformemente acelerados para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento do macaco. Quando o macaco solta o galho, ele começa a cair livremente, ou seja, está sob a influência da gravidade. A equação que descreve a posição vertical ($ y
t $) é:
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $), e $ H $ é a altura inicial do macaco.
Passo 3
Agora, vamos olhar pro movimento do dardo. O dardo tem uma velocidade inicial $ v_0 $ na direção horizontal para percorrer a distância $ D $. O tempo que o dardo leva para percorrer essa distância é:
Durante esse tempo, o dardo também está sujeito à gravidade na direção vertical, então a posição vertical do dardo é:
Passo 4
Para que o dardo acerte o macaco, as posições verticais deles devem ser iguais no mesmo instante de tempo. Então, igualamos $ y_m(t) $ e $ y_d(t) $:
Isso nos mostra que os dois objetos estão caindo de forma sincronizada. Para garantir que o dardo acerte o macaco, precisamos que o dardo alcance o ponto $ D $ exatamente no momento em que o macaco estiver lá.
Passo 5
Vamos considerar o cenário mais crítico, onde o dardo precisa atingir o macaco exatamente quando ele atinge o chão. Nesse momento, a altura do macaco será zero:
Resolvendo para $ t $:
Passo 6
Agora que temos o tempo $ t $ necessário para o macaco cair, podemos usar esse valor para encontrar a velocidade mínima $ v_0 $ do dardo:
Resposta
Então, a velocidade mínima teórica que o índio precisa dar ao dardo para acertar o macaco é: