Um índio, munido de uma zarabatana, mira um macaco pendurado no galho de uma árvore, a uma altura H do solo. O índio dispara então um dardo com velocidade v0 em direção ao macaco e este, muito esperto e ágil, solta imediatamente o galho, iniciando o seu movimento de queda livre. A distância horizontal que separa o índio da linha de queda do macaco é D.
Escreva um programa que pede, por input, os valores de H, D e v0, e mostra os movimentos simultâneos do dardo e do macaco. A simulação, usando Euler-Cromer, deve parar quando o dardo atingir o macaco. Em seguida, deverá mostrar o tempo e a posição (x, y) de encontro dos dois. Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que envolve movimento de um dardo e um macaco que está caindo. O que precisa ser feito é simular esses movimentos até o dardo atingir o macaco. Para isso, vamos usar a matéria de Movimento Uniformemente Variado (MUV) e o método de Euler-Cromer, que é uma técnica numérica para resolver equações diferenciais, muito usada em simulações de movimentos.
Vamos precisar dos seguintes dados:
  • H: Altura inicial do macaco.
  • D: Distância horizontal entre o índio e a linha de queda do macaco.
  • v₀: Velocidade inicial do dardo.
Nosso objetivo é calcular o tempo que o dardo leva para atingir o macaco e a posição onde isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as condições iniciais de cada movimento.
Para o dardo:
  • A posição inicial na horizontal (x₀) é 0 (onde está o índio).
  • A posição inicial na vertical (y₀) é 0 (nível do solo).
  • A velocidade inicial horizontal (v₀ₓ) é igual a $ v_0 $ porque o dardo é disparado horizontalmente.
  • A velocidade inicial vertical (v₀ᵧ) é 0, já que o dardo não tem movimento para cima ou para baixo no instante do disparo.
Para o macaco:
  • A posição inicial na horizontal (xₘ₀) é $ D $.
  • A posição inicial na vertical (yₘ₀) é $ H $.
  • A velocidade inicial vertical (vₘᵧ₀) é 0, pois ele começa a cair do repouso.
  • A velocidade horizontal (vₘₓ₀) é 0, já que o macaco só cai verticalmente.

Passo 3

Agora, vamos entender o que acontece com o macaco quando ele solta o galho. Sem nenhuma força horizontal atuando, ele só vai cair verticalmente devido à gravidade.
A equação do movimento do macaco na vertical é dada por:
ym(t) = H - 12 g t^2
onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s² $).
Para o dardo, que tem movimento horizontal constante e movimento vertical influenciado pela gravidade:
  • Horizontalmente: g
    - Verticalmente:
    approx 9,81 , m/s² Mas como $ y₀ = 0 $ e $ v₀ᵧ = 0 $, fica: xd(t) = v0 t

Passo 4

Vamos aplicar o método de Euler-Cromer para simular o movimento. Esse método envolve atualizar as velocidades e posições em pequenos intervalos de tempo ($ \Delta t $).
Para cada pequeno passo de tempo:
  1. Atualizar a velocidade:
    • Para o dardo: De
      onde $ a_y = -g $
      - Para o macaco:
      vdy = vdy + ay De
  2. Atualizar a posição:
    • Para o dardo: ay = -g vmy = vmy + ay De
      - Para o macaco:
      xd = xd + vdx De
Repetimos esses passos até que a posição do dardo e do macaco se encontrem.

Passo 5

Precisamos definir a condição de parada para a simulação: quando o dardo atinge o macaco. Isso acontece quando as posições horizontais e verticais coincidem.
Matematicamente, isso ocorre quando:
xd(t) >= D
e
yd(t) <= ym(t)
Assim, a cada iteração do método de Euler-Cromer, verificamos se essas condições são satisfeitas. Quando forem, registramos o tempo $ t $ e a posição $ (x_d, y_d) $ desse encontro.

Passo 6

Após a simulação parar, teremos os valores de tempo e posição onde o dardo atingiu o macaco.

Resposta

O dardo atinge o macaco no tempo $ t $ e na posição $ (x, y) $ calculados pela simulação. Esses valores dependem dos parâmetros iniciais $ H $, $ D $ e $ v_0 $ fornecidos como input no programa.

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