Um índio, munido de uma zarabatana, mira um macaco pendurado no galho de uma árvore, a uma altura
do solo. O índio dispara então um dardo com velocidade
em direção ao macaco e este, muito esperto e ágil, solta imediatamente o galho, iniciando o seu movimento de queda livre. A distância horizontal que separa o índio da linha de queda do macaco é
.
Escreva um programa que pede, por input, os valores de
e
, e mostra os movimentos simultâneos do dardo e do macaco. A simulação, usando Euler-Cromer, deve parar quando o dardo atingir o macaco. Em seguida, deverá mostrar o tempo e a posição
de encontro dos dois. Despreze a resistência do ar.
Escreva um programa que pede, por input, os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que envolve movimento de um dardo e um macaco que está caindo. O que precisa ser feito é simular esses movimentos até o dardo atingir o macaco. Para isso, vamos usar a matéria de Movimento Uniformemente Variado (MUV) e o método de Euler-Cromer, que é uma técnica numérica para resolver equações diferenciais, muito usada em simulações de movimentos.
Vamos precisar dos seguintes dados:
- H: Altura inicial do macaco.
- D: Distância horizontal entre o índio e a linha de queda do macaco.
- v₀: Velocidade inicial do dardo.
Nosso objetivo é calcular o tempo que o dardo leva para atingir o macaco e a posição onde isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as condições iniciais de cada movimento.
Para o dardo:
- A posição inicial na horizontal (x₀) é 0 (onde está o índio).
- A posição inicial na vertical (y₀) é 0 (nível do solo).
- A velocidade inicial horizontal (v₀ₓ) é igual a $ v_0 $ porque o dardo é disparado horizontalmente.
- A velocidade inicial vertical (v₀ᵧ) é 0, já que o dardo não tem movimento para cima ou para baixo no instante do disparo.
Para o macaco:
- A posição inicial na horizontal (xₘ₀) é $ D $.
- A posição inicial na vertical (yₘ₀) é $ H $.
- A velocidade inicial vertical (vₘᵧ₀) é 0, pois ele começa a cair do repouso.
- A velocidade horizontal (vₘₓ₀) é 0, já que o macaco só cai verticalmente.
Passo 3
Agora, vamos entender o que acontece com o macaco quando ele solta o galho. Sem nenhuma força horizontal atuando, ele só vai cair verticalmente devido à gravidade.
A equação do movimento do macaco na vertical é dada por:
onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s² $).
Para o dardo, que tem movimento horizontal constante e movimento vertical influenciado pela gravidade:
- Horizontalmente:
- Verticalmente:
Mas como $ y₀ = 0 $ e $ v₀ᵧ = 0 $, fica:
Passo 4
Vamos aplicar o método de Euler-Cromer para simular o movimento. Esse método envolve atualizar as velocidades e posições em pequenos intervalos de tempo ($ \Delta t $).
Para cada pequeno passo de tempo:
- Atualizar a velocidade:
- Para o dardo:
onde $ a_y = -g $
- Para o macaco:
- Para o dardo:
- Atualizar a posição:
- Para o dardo:
- Para o macaco:
- Para o dardo:
Repetimos esses passos até que a posição do dardo e do macaco se encontrem.
Passo 5
Precisamos definir a condição de parada para a simulação: quando o dardo atinge o macaco. Isso acontece quando as posições horizontais e verticais coincidem.
Matematicamente, isso ocorre quando:
e
Assim, a cada iteração do método de Euler-Cromer, verificamos se essas condições são satisfeitas. Quando forem, registramos o tempo $ t $ e a posição $ (x_d, y_d) $ desse encontro.
Passo 6
Após a simulação parar, teremos os valores de tempo e posição onde o dardo atingiu o macaco.
Resposta
O dardo atinge o macaco no tempo $ t $ e na posição $ (x, y) $ calculados pela simulação. Esses valores dependem dos parâmetros iniciais $ H $, $ D $ e $ v_0 $ fornecidos como input no programa.