Indique a afirmação falsa.
(b) Se f: R -> R é uniformemente contínua em R, então existem a >= 0 e b ≥ 0 tais que |f(x)| <= a|x| + b para todo x em R.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A afirmação (b) diz que se temos uma função que é uniformemente contínua em todo o conjunto dos números reais, então existem dois números não negativos e tal que para todo em , vale que . Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser uniformemente contínua. Uma função é uniformemente contínua em se, para qualquer , existe um tal que para quaisquer em , se , então . Isso quer dizer que a função não tem “saltos” repentinos e se comporta de forma controlada em todo o domínio.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação . Essa desigualdade sugere que o valor absoluto da função cresce no máximo de forma linear em relação a . Em outras palavras, a função não pode crescer mais rápido que uma linha reta com inclinação .

Passo 4

Vamos considerar alguns exemplos de funções uniformemente contínuas para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
  • Exemplo 1: . Essa função é uniformemente contínua porque é derivável em todo e sua derivada é limitada. Além disso, para todo , então podemos escolher e , satisfazendo .
  • Exemplo 2: . Essa função também é uniformemente contínua, pois sua derivada é constante (igual a 1). Aqui, , então escolhemos e .
  • Exemplo 3: . Essa função é uniformemente contínua porque decai rapidamente para zero conforme aumenta. Podemos encontrar constantes e que satisfaçam .

Passo 5

Observando esses exemplos, percebemos que para funções uniformemente contínuas em , sempre conseguimos encontrar constantes e que fazem a desigualdade valer para todo em . Isso sugere que a afirmação (b) é verdadeira.

Resposta

A afirmação (b) é verdadeira; não é falsa.

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