Seja G um grupo abeliano finito. Mostre que:
(II) Se n || G |, então G tem subgrupo de ordem n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que se temos um grupo abeliano finito e um número que divide a ordem de de maneira especial (ou seja, ), então tem um subgrupo com exatamente elementos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre subgrupos em grupos abelianos e como a estrutura desses grupos nos ajuda a encontrar subgrupos de uma certa ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que divide , a ordem de , e que contém exatamente os mesmos fatores primos que , sem repetições extras. Em outras palavras, para cada primo que divide , a maior potência de que divide também divide e não mais.

Passo 3

Agora, como é um grupo abeliano finito, sabemos pela Teoria Fundamental dos Grupos Abelianos que pode ser decomposto em uma soma direta de grupos cíclicos de ordens que são potências de primos. Isso é super útil porque grupos cíclicos têm subgrupos para cada divisor de sua ordem.

Passo 4

Então, para encontrar um subgrupo de ordem , podemos olhar para cada um desses grupos cíclicos que compõem e pegar subgrupos cujas ordens multiplicam para . Como , sabemos que podemos combinar esses subgrupos de maneira que a ordem total seja exatamente .

Resposta

Portanto, concluímos que o grupo abeliano finito possui um subgrupo com exatamente elementos quando .

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