Seja
um grupo abeliano finito. Mostre que:
(II) Se
, então
tem subgrupo de ordem
.
(II) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que se temos um grupo abeliano finito
e um número
que divide a ordem de
de maneira especial (ou seja,
), então
tem um subgrupo com exatamente
elementos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre subgrupos em grupos abelianos e como a estrutura desses grupos nos ajuda a encontrar subgrupos de uma certa ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que
divide
, a ordem de
, e que
contém exatamente os mesmos fatores primos que
, sem repetições extras. Em outras palavras, para cada primo
que divide
, a maior potência de
que divide
também divide
e não mais.
Passo 3
Agora, como
é um grupo abeliano finito, sabemos pela Teoria Fundamental dos Grupos Abelianos que
pode ser decomposto em uma soma direta de grupos cíclicos de ordens que são potências de primos. Isso é super útil porque grupos cíclicos têm subgrupos para cada divisor de sua ordem.
Passo 4
Então, para encontrar um subgrupo de ordem
, podemos olhar para cada um desses grupos cíclicos que compõem
e pegar subgrupos cujas ordens multiplicam para
. Como
, sabemos que podemos combinar esses subgrupos de maneira que a ordem total seja exatamente
.
Resposta
Portanto, concluímos que o grupo abeliano finito
possui um subgrupo com exatamente
elementos quando
.