Indique a afirmação falsa.
(a) Se
é limitada, monótona e contínua, então
é uniformemente contínua em
.
(a) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é limitada, monótona e contínua, então
é uniformemente contínua em
.”
Estamos falando de continuidade uniforme, que é um conceito da análise matemática. Para resolver isso, precisamos entender as definições de funções limitadas, monotônicas, contínuas e uniformemente contínuas.
Estamos falando de continuidade uniforme, que é um conceito da análise matemática. Para resolver isso, precisamos entender as definições de funções limitadas, monotônicas, contínuas e uniformemente contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada termo:
- Função limitada: Existem números
e tais que para todo em . - Função monótona: A função é ou sempre crescente ou sempre decrescente.
- Função contínua: Pequenas variações em
resultam em pequenas variações em . - Continuidade uniforme: A continuidade é “uniforme” em todo o domínio, ou seja, o quanto escolhemos para
não depende do ponto .
Passo 3
Sabemos que funções monótonas e contínuas definidas em intervalos limitados são automaticamente uniformemente contínuas por conta do teorema de Heine-Cantor. No entanto, quando consideramos todo o conjunto dos números reais
, precisamos verificar se essa propriedade ainda se mantém.
Passo 4
Como
é limitada e monótona em
, ela tem limites finitos quando
tende a
e
. Isso garante que a função não “se assuste” no infinito e mantém a continuidade uniforme em todo o domínio real.
Resposta
A afirmação (a) é verdadeira. Portanto, não é falsa.