Indique a afirmação falsa.
(a) Se f: R -> R é limitada, monótona e contínua, então f é uniformemente contínua em R.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se é limitada, monótona e contínua, então é uniformemente contínua em .”
Estamos falando de continuidade uniforme, que é um conceito da análise matemática. Para resolver isso, precisamos entender as definições de funções limitadas, monotônicas, contínuas e uniformemente contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada termo:
  • Função limitada: Existem números e tais que para todo em .
  • Função monótona: A função é ou sempre crescente ou sempre decrescente.
  • Função contínua: Pequenas variações em resultam em pequenas variações em .
  • Continuidade uniforme: A continuidade é “uniforme” em todo o domínio, ou seja, o quanto escolhemos para não depende do ponto .

Passo 3

Sabemos que funções monótonas e contínuas definidas em intervalos limitados são automaticamente uniformemente contínuas por conta do teorema de Heine-Cantor. No entanto, quando consideramos todo o conjunto dos números reais , precisamos verificar se essa propriedade ainda se mantém.

Passo 4

Como é limitada e monótona em , ela tem limites finitos quando tende a e . Isso garante que a função não “se assuste” no infinito e mantém a continuidade uniforme em todo o domínio real.

Resposta

A afirmação (a) é verdadeira. Portanto, não é falsa.

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