Indique de que forma deve-se procurar uma solução particular das equações diferenciais, sem, contudo, determinar os coeficientes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente indicar como encontrar uma solução particular para a equação diferencial
. Aqui estamos lidando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a achar uma solução específica quando o lado direito é uma combinação de funções conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o lado direito da equação, que é
. Esse lado é composto por duas funções:
e
. Cada uma dessas funções vai exigir que a gente proponha uma forma específica para a solução particular.
Passo 3
Para cada termo do lado direito, assumimos uma solução particular que tem a mesma forma, mas multiplicada por polinômios que vão de acordo com o grau de
. No nosso caso:
- Para
, vamos propor uma solução da forma . - Para
, vamos propor .
Passo 4
Antes de tudo, precisamos verificar se essas soluções propostas não fazem parte da solução geral da equação homogênea associada
. Isso é importante porque, se algum termo da nossa proposta já estiver na solução homogênea, a gente multiplica por
para evitar duplicidade.
Passo 5
Após confirmar que não há sobreposição, juntamos as duas soluções particulares propostas:
. Dessa forma, a solução particular geral da equação dada será a soma das duas partes que propusemos para cada termo do lado direito.
Resposta
A solução particular pode ser assumida como a soma de
e
, ou seja:
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