Indique de que forma deve-se procurar uma solução particular das equações diferenciais, sem, contudo, determinar os coeficientes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente indicar como encontrar uma solução particular para a equação diferencial . Aqui estamos lidando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a achar uma solução específica quando o lado direito é uma combinação de funções conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o lado direito da equação, que é . Esse lado é composto por duas funções: e . Cada uma dessas funções vai exigir que a gente proponha uma forma específica para a solução particular.

Passo 3

Para cada termo do lado direito, assumimos uma solução particular que tem a mesma forma, mas multiplicada por polinômios que vão de acordo com o grau de . No nosso caso:
  • Para , vamos propor uma solução da forma .
  • Para , vamos propor .

Passo 4

Antes de tudo, precisamos verificar se essas soluções propostas não fazem parte da solução geral da equação homogênea associada . Isso é importante porque, se algum termo da nossa proposta já estiver na solução homogênea, a gente multiplica por para evitar duplicidade.

Passo 5

Após confirmar que não há sobreposição, juntamos as duas soluções particulares propostas: . Dessa forma, a solução particular geral da equação dada será a soma das duas partes que propusemos para cada termo do lado direito.

Resposta

A solução particular pode ser assumida como a soma de e , ou seja:

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