Indique de que forma deve-se procurar uma solução particular das equações diferenciais, sem, contudo, determinar os coeficientes:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear não homogênea de terceira ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação (a parte não homogênea) é uma combinação de funções que já conhecemos como soluções “testemunhas”. Para aplicar esse método, precisamos propor uma forma para a solução particular que se assemelhe ao lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte do lado direito:
. Aqui temos um polinômio
, multiplicado por uma exponencial
e por uma função trigonométrica
.
Quando temos um produto dessas funções, a solução particular geralmente assume a mesma forma. Então, nossa solução particular para essa parte será:
Aqui,
são coeficientes que vão ser determinados, mas como o exercício pede para não determiná-los, apenas indicamos a forma.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte do lado direito:
. Essa é uma função polinomial de primeiro grau multiplicada por
.
Para essa parte, propomos uma solução particular da forma:
Onde
são coeficientes a serem encontrados posteriormente.
Passo 4
Por fim, para obter a solução particular total da equação diferencial, somamos as duas partes que encontramos:
Então, juntando tudo, temos:
Resposta
A forma da solução particular é
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Determine a solução dos P.V.Is: