Indique de que forma deve-se procurar uma solução particular das equações diferenciais, sem, contudo, determinar os coeficientes:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear não homogênea de terceira ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação (a parte não homogênea) é uma combinação de funções que já conhecemos como soluções “testemunhas”. Para aplicar esse método, precisamos propor uma forma para a solução particular que se assemelhe ao lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte do lado direito: . Aqui temos um polinômio , multiplicado por uma exponencial e por uma função trigonométrica .
Quando temos um produto dessas funções, a solução particular geralmente assume a mesma forma. Então, nossa solução particular para essa parte será:
Aqui, são coeficientes que vão ser determinados, mas como o exercício pede para não determiná-los, apenas indicamos a forma.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte do lado direito: . Essa é uma função polinomial de primeiro grau multiplicada por .
Para essa parte, propomos uma solução particular da forma:
Onde são coeficientes a serem encontrados posteriormente.

Passo 4

Por fim, para obter a solução particular total da equação diferencial, somamos as duas partes que encontramos:
Então, juntando tudo, temos:

Resposta

A forma da solução particular é

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