Indique de que forma deve-se procurar uma solução particular das equações diferenciais, sem, contudo, determinar os coeficientes:

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem: . Nosso objetivo aqui é encontrar a forma de uma solução particular para essa equação, sem precisar calcular os coeficientes. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para isso, entendendo como montar a solução baseada no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o lado direito da equação: . Aqui, temos duas partes que precisamos tratar separadamente: e . A ideia é propor uma solução particular que consiga capturar essas duas componentes.

Passo 3

Para a parte , normalmente assumimos uma solução da forma . Isso porque a presença de sugere que a exponencial está envolvida na solução.

Passo 4

Já para a parte , que é um polinômio de primeiro grau, a solução particular seria da forma , onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Então, juntando as duas partes, nossa solução particular proposta será:
Essa é a forma geral que a gente vai usar para buscar a solução particular dessa equação diferencial.

Resposta

A forma da solução particular é , onde , , e são constantes a serem determinados.

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Um tanque contém 100 galões (cerca de 455 litros) de água e 50 onças (cerca de de sal. Água comtendo uma concentração de sal de sent oz/gal entra no taque a uma taxa de 2 galões por minuto e a mistura no tanque sai a mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. (R: