Indique de que forma deve-se procurar uma solução particular das equações diferenciais, sem, contudo, determinar os coeficientes:
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
. Nosso objetivo aqui é encontrar a forma de uma solução particular para essa equação, sem precisar calcular os coeficientes. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para isso, entendendo como montar a solução baseada no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o lado direito da equação:
. Aqui, temos duas partes que precisamos tratar separadamente:
e
. A ideia é propor uma solução particular que consiga capturar essas duas componentes.
Passo 3
Para a parte
, normalmente assumimos uma solução da forma
. Isso porque a presença de
sugere que a exponencial está envolvida na solução.
Passo 4
Já para a parte
, que é um polinômio de primeiro grau, a solução particular seria da forma
, onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Então, juntando as duas partes, nossa solução particular proposta será:
Essa é a forma geral que a gente vai usar para buscar a solução particular dessa equação diferencial.
Resposta
A forma da solução particular é
, onde
,
,
e
são constantes a serem determinados.
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Determine a solução dos P.V.Is:
Um tanque contém 100 galões (cerca de 455 litros) de água e 50 onças (cerca de
de sal. Água comtendo uma concentração de sal de
sent
oz/gal entra no taque a uma taxa de 2 galões por minuto e a mistura no tanque sai a mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. (R: