Na indústria é muito comum a busca por otimização dos processos visando menores custos e maiores lucros. Geralmente, até certo limite, quanto mais se produz, menor o custo por unidade produzida (também denominado custo unitário). Suponha que numa indústria a função custo unitário seja C(x) = 100 - x sobre 50, onde x é a quantidade de itens produzidos (e C(x) é o custo, em reais, de um único item), assinale a alternativa que contém o custo total da produção de 400 itens. Escolha uma:
a. R$ 36800,00.
b. R$ 40000,00.
c. R$ 38000,00.
d. R$ 39950,00.
e. R$ 36000,00.
a. R$ 36800,00.
b. R$ 40000,00.
c. R$ 38000,00.
d. R$ 39950,00.
e. R$ 36000,00.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre otimização de custos na indústria. A gente tem uma função que mostra o custo de produzir cada item, que é $ C(x) = 100 - \frac{x}{50} $, onde $ x $ é a quantidade de itens produzidos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o custo total para produzir 400 itens. Para isso, vamos precisar calcular o custo unitário para 400 itens e depois multiplicar pela quantidade produzida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função do custo unitário: $ C(x) = 100 - \frac{x}{50} $. Isso significa que conforme a produção aumenta, o custo por unidade diminui, o que faz sentido na prática porque comprar mais matéria-prima ou fabricar em maior escala geralmente sai mais barato por unidade.
Passo 3
Vamos calcular o custo unitário quando produzimos 400 itens. Substituímos $ x $ por 400 na função:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração:
Então,
Isso significa que o custo para produzir um único item quando produzimos 400 unidades é de R$92,00.
Passo 5
Para encontrar o custo total, multiplicamos o custo unitário pela quantidade produzida:
Passo 6
Fazendo a multiplicação:
Resposta
O custo total para produzir 400 itens é de R$ 36.800,00.