Em uma indústria de manufatura, a duração X para fabricar um item é modelada como uma variável aleatória contínua. A empresa tem uma relação, dada pela função H, entre a duração de fabricação X e o custo Y de produção desse item. O objetivo é entender a distribuição do custo Y. Suponha que G(y)=P(Y≤y). Se a empresa deseja determinar a função de densidade de probabilidade g(y) para Y, qual é a abordagem correta?
A) Somar todas as probabilidades de X e dividir pelo total de possíveis valores de Y.
B) Derivar G(y) em relação a y.
C) Calcular a probabilidade P(Y=y) diretamente usando a função H.
D) Integrar G(y) em relação a y.
E) Multiplicar G(y) pela média de Y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ que representa o tempo para fabricar um item na indústria. Existe uma função $ H $ que relaciona esse tempo $ X $ com o custo de produção $ Y $. A empresa quer saber como o custo $ Y $ está distribuído. Eles deram a função $ G(y) = P(Y \leq y) $, que é a função de distribuição acumulada de $ Y $. A pergunta é: como encontrar a função de densidade de probabilidade $ g(y) $ de $ Y $? Vamos precisar usar conceitos de probabilidade e cálculo, especialmente derivadas de funções de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada (CDF) $ G(y) $ nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ Y $ seja menor ou igual a um certo valor $ y $. Para encontrar a função de densidade de probabilidade (PDF) $ g(y) $, que nos dá a probabilidade de $ Y $ assumir um valor específico, usamos a relação entre a CDF e a PDF.

Passo 3

A relação entre a função de distribuição acumulada $ G(y) $ e a função de densidade de probabilidade $ g(y) $ é dada pela derivada de $ G(y) $ em relação a $ y $. Isso significa que:
G(y)
Essa derivada nos fornece a taxa de variação da probabilidade acumulada em relação a $ y $, ou seja, a densidade de probabilidade naquele ponto.

Passo 4

Vamos analisar as alternativas oferecidas:
A) Somar todas as probabilidades de $ X $ e dividir pelo total de possíveis valores de $ Y $.
Isso não é a abordagem correta para encontrar a PDF a partir da CDF.
B) Derivar $ G(y) $ em relação a $ y $.
Essa é exatamente a relação que usamos para encontrar a PDF a partir da CDF.
C) Calcular a probabilidade $ P(Y=y) $ diretamente usando a função $ H $.
Em variáveis contínuas, $ P(Y=y) $ é zero, então essa abordagem não funciona.
D) Integrar $ G(y) $ em relação a $ y $.
Integrar a CDF não nos dá a PDF, mas sim uma relação diferente que não é útil aqui.
E) Multiplicar $ G(y) $ pela média de $ Y $.
Isso não está relacionado com a obtenção da PDF a partir da CDF.

Resposta

A alternativa correta é B) Derivar $ G(y) $ em relação a $ y $.

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