Indique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas e justifique suas respostas.
Um monopolista que se depara com a demanda de mercado
e tem custos
escolhe o preço para maximizar os lucros. No ótimo, ele cobra
, em que
é a elasticidade-preço da demanda.
Um monopolista que se depara com a demanda de mercado
Passo 1
Então, a questão fala sobre como um monopolista decide qual preço cobrar para maximizar seus lucros. Vamos usar conceitos de microeconomia, especificamente teoria de monopolismo, e precisamos entender a elasticidade-preço da demanda para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o lucro do monopolista é calculado pela diferença entre a receita total e o custo total. A receita total
é dada por
, onde
é o preço e
é a quantidade vendida.
Passo 3
O custo total
é uma função de
, ou seja,
. Portanto, o lucro
é:
Passo 4
Para maximizar o lucro, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero. Mas primeiro, precisamos expressar
em termos de
.
Passo 5
A demanda de mercado é dada por
, que podemos inverter para obter
. Então, a receita total fica:
Passo 6
Derivando a receita total em relação a
:
Passo 7
O lucro derivado em relação a
é:
Passo 8
Para maximizar o lucro, igualamos a derivada a zero:
Passo 9
A elasticidade-preço da demanda
é definida por:
Rearranjando, temos:
Passo 10
Substituindo
na equação do lucro:
Passo 11
Resolvendo para
:
Passo 12
Observando a fórmula dada na questão:
Podemos simplificar o denominador:
Portanto,
Resposta
A afirmação é verdadeira. A fórmula apresentada para o preço ótimo que maximiza os lucros do monopolista está correta, conforme demonstrado através dos passos acima.