Uma industria produz três produtos x, y e z, utilizando dois tipos de insumo, a e b. Para manufatura de cada kg de x são utilizados 2 gramas de insumos a e 1 grama de insumo b; para cada kg de y, 1 grama de insumo a e 3 gramas de insumo b e, para cada kg de z, 3 gramas de a e 5 gramas de b. O preço de venda do kg de cada um dos produtos x, y e z é de R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de x, y e z manufaturada com 1,9 kg de a e 2,4 de b, essa industria arrecadou R$ 2900. Determine quantos kg de cada um dor produtos x, y e z foram vendidos.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma indústria que fabrica três produtos: x, y e z, usando dois tipos de insumos: a e b. Cada produto consome uma certa quantidade desses insumos e tem um preço de venda por quilo. A questão nos dá a quantidade total de insumos utilizados e o total arrecadado com as vendas, e precisamos descobrir quantos quilos de cada produto foram vendidos.
Conteúdo da matéria: Nesse problema, vamos usar sistemas de equações lineares para encontrar a quantidade de cada produto vendido. Precisamos montar equações que relacionem os insumos utilizados e o preço de venda para resolver o sistema e encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
  • Insumos utilizados por kg de produto:
    • Produto x: 2 gramas de a e 1 grama de b
    • Produto y: 1 grama de a e 3 gramas de b
    • Produto z: 3 gramas de a e 5 gramas de b
  • Preço de venda por kg:
    • Produto x: R$ 3,00
    • Produto y: R$ 2,00
    • Produto z: R$ 4,00
  • Total de insumos utilizados:
    • a: 1,9 kg
    • b: 2,4 kg
  • Total arrecadado com as vendas: R$ 2900
Vamos converter as quantidades de insumos de gramas para quilogramas para facilitar os cálculos:
  • 2 gramas = 0,002 kg
  • 1 grama = 0,001 kg
  • 3 gramas = 0,003 kg
  • 5 gramas = 0,005 kg

Passo 3

Agora, vamos montar as equações com base nas informações:
  1. Consumo do insumo a:
    0,002x + 0,001y + 0,003z = 1,9
  2. Consumo do insumo b:
    0,001x + 0,003y + 0,005z = 2,4
  3. Arrecadação total:
    3x + 2y + 4z = 2900
Temos assim um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z).

Passo 4

Para resolver o sistema, podemos usar o método da eliminação. Vamos simplificar as equações para facilitar os cálculos. Primeiramente, vamos multiplicar as duas primeiras equações por 1000 para eliminar as casas decimais:
  1. Consumo do insumo a:
    2x + y + 3z = 1900
  2. Consumo do insumo b:
    x + 3y + 5z = 2400
A terceira equação já está sem decimais:
3x + 2y + 4z = 2900

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar x entre as primeiras duas equações.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2x + y + 3z) - (x + 3y + 5z) = 1900 - 2400
x - 2y - 2z = -500
x = 2y + 2z - 500 (Equação 4) çã

Passo 6

Agora, vamos substituir x da Equação 4 na terceira equação do sistema:
3(2y + 2z - 500) + 2y + 4z = 2900
6y + 6z - 1500 + 2y + 4z = 2900
(6y + 2y) + (6z + 4z) - 1500 = 2900
8y + 10z = 4400
4y + 5z = 2200 (Equação 5) çã

Passo 7

Agora, vamos usar a Equação 4 para substituir x em uma das equações restantes. Vamos substituir x na segunda equação do sistema:
(2y + 2z - 500) + 3y + 5z = 2400
2y + 2z - 500 + 3y + 5z = 2400
(2y + 3y) + (2z + 5z) - 500 = 2400
5y + 7z = 2900
5y + 7z = 2900 (Equação 6) çã

Passo 8

Agora, temos um sistema com duas equações:
4y + 5z = 2200 (Equação 5) çã
5y + 7z = 2900 (Equação 6) çã
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 5 por 5 e a Equação 6 por 4 para igualar os coeficientes de y:
20y + 25z = 11000 (Equação 5 muçã
20y + 28z = 11600 (Equação 6 muçã
Subtraindo a primeira da segunda:
(20y + 28z) - (20y + 25z) = 11600 - 11000
3z = 600
z = 200

Passo 9

Agora que encontramos z = 200, vamos substituir esse valor na Equação 5 para encontrar y:
4y + 5(200) = 2200
4y + 1000 = 2200
4y = 1200
y = 300

Passo 10

Com os valores de y = 300 e z = 200, vamos substituir na Equação 4 para encontrar x:
x = 2(300) + 2(200) - 500
x = 600 + 400 - 500
x = 500

Resposta

Foram vendidos 500 kg do produto x, 300 kg do produto y e 200 kg do produto z.

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