Uma industria produz três produtos x, y e z, utilizando dois tipos de insumo, a e b. Para manufatura de cada kg de x são utilizados 2 gramas de insumos a e 1 grama de insumo b; para cada kg de y, 1 grama de insumo a e 3 gramas de insumo b e, para cada kg de z, 3 gramas de a e 5 gramas de b. O preço de venda do kg de cada um dos produtos x, y e z é de R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de x, y e z manufaturada com 1,9 kg de a e 2,4 de b, essa industria arrecadou R$ 2900. Determine quantos kg de cada um dor produtos x, y e z foram vendidos.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma indústria que fabrica três produtos: x, y e z, usando dois tipos de insumos: a e b. Cada produto consome uma certa quantidade desses insumos e tem um preço de venda por quilo. A questão nos dá a quantidade total de insumos utilizados e o total arrecadado com as vendas, e precisamos descobrir quantos quilos de cada produto foram vendidos.
Conteúdo da matéria: Nesse problema, vamos usar sistemas de equações lineares para encontrar a quantidade de cada produto vendido. Precisamos montar equações que relacionem os insumos utilizados e o preço de venda para resolver o sistema e encontrar os valores de x, y e z.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
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Insumos utilizados por kg de produto:
- Produto x: 2 gramas de a e 1 grama de b
- Produto y: 1 grama de a e 3 gramas de b
- Produto z: 3 gramas de a e 5 gramas de b
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Preço de venda por kg:
- Produto x: R$ 3,00
- Produto y: R$ 2,00
- Produto z: R$ 4,00
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Total de insumos utilizados:
- a: 1,9 kg
- b: 2,4 kg
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Total arrecadado com as vendas: R$ 2900
Vamos converter as quantidades de insumos de gramas para quilogramas para facilitar os cálculos:
- 2 gramas = 0,002 kg
- 1 grama = 0,001 kg
- 3 gramas = 0,003 kg
- 5 gramas = 0,005 kg
Passo 3
Agora, vamos montar as equações com base nas informações:
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Consumo do insumo a:
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Consumo do insumo b:
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Arrecadação total:
Temos assim um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z).
Passo 4
Para resolver o sistema, podemos usar o método da eliminação. Vamos simplificar as equações para facilitar os cálculos. Primeiramente, vamos multiplicar as duas primeiras equações por 1000 para eliminar as casas decimais:
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Consumo do insumo a:
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Consumo do insumo b:
A terceira equação já está sem decimais:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar x entre as primeiras duas equações.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 6
Agora, vamos substituir x da Equação 4 na terceira equação do sistema:
Passo 7
Agora, vamos usar a Equação 4 para substituir x em uma das equações restantes. Vamos substituir x na segunda equação do sistema:
Passo 8
Agora, temos um sistema com duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 5 por 5 e a Equação 6 por 4 para igualar os coeficientes de y:
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 9
Agora que encontramos z = 200, vamos substituir esse valor na Equação 5 para encontrar y:
Passo 10
Com os valores de y = 300 e z = 200, vamos substituir na Equação 4 para encontrar x:
Resposta
Foram vendidos 500 kg do produto x, 300 kg do produto y e 200 kg do produto z.