Uma indústria têxtil produz rolos de tecido e afirma que a média do comprimento dos rolos é de 100 metros. No entanto, a equipe de controle de qualidade suspeita que a média real possa ser menor. Para investigar essa suspeita, uma amostra aleatória de 12 rolos é coletada, e os comprimentos são medidos.
96 94 93 94 97 96
98 100 102 101 99 97
(b) Considerando , construa a região crítica para esse teste;

Passo 1

Então, temos um exercício de estatística onde uma indústria têxtil afirma que o comprimento médio dos rolos de tecido é de 100 metros. A equipe de controle de qualidade suspeita que essa média real pode ser menor. Para verificar isso, eles coletaram uma amostra de 12 rolos com comprimentos variados. Agora, queremos construir a região crítica para esse teste com um nível de significância . Isso envolve entender conceitos de testes de hipóteses, especialmente o teste unilateral à esquerda, já que estamos verificando se a média é menor que o valor afirmado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste:
  • Hipótese nula ( ): A média real dos comprimentos dos rolos é igual a 100 metros.
  • Hipótese alternativa ( ): A média real dos comprimentos dos rolos é menor que 100 metros.
Como estamos testando se a média é menor, este é um teste unilateral à esquerda.

Passo 3

Para construir a região crítica, precisamos identificar o valor crítico que corresponde ao nível de significância de . Como temos uma amostra pequena (n = 12) e provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população, utilizaremos a distribuição de Student.
Primeiro, determinamos os graus de liberdade ( ):

Passo 4

Com e , consultamos uma tabela da distribuição ou usamos uma ferramenta estatística para encontrar o valor crítico .
Buscando na tabela para e uma cauda com , encontramos:
(O valor é negativo porque estamos considerando a cauda esquerda.)

Passo 5

A região crítica é composta por todos os valores do teste estatístico que são menores ou iguais ao valor crítico encontrado. Portanto, a região crítica para este teste é:
Isso significa que, se o valor calculado do teste for menor ou igual a , rejeitaremos a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.

Resposta

A região crítica para o teste com nível de significância é .

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96 94 93 94 97 96
98 100 102 101 99 97
(a) Ao realizarmos um teste para a média do comprimento dos rolos, quais seriam as hipóteses?
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x y
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10 12
11 15
12 12
14 13
10 16
9 10
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