A indutância de um enrolamento de fase de um motor trifásico de polos salientes foi medida e é dada por
L(thetam)=L0+L2 cos 2 thetam
onde thetam é a posição angular do rotor. Supondo que todas as demais correntes de enrolamento sejam zero e que esta fase seja excitada por uma corrente constante I0, encontre o conjugado que atua sobre o rotor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a indutância de um enrolamento de fase de um motor trifásico de polos salientes, que depende da posição angular do rotor, thetam. A equação dada é:
L(thetam) = L0 + L2 cos 2 thetam
Nosso objetivo é encontrar o conjugado, ou seja, o torque que atua sobre o rotor quando esse enrolamento é alimentado por uma corrente constante I0. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia magnética armazenada no enrolamento está relacionada ao torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia magnética ( W) armazenada em um indutor é dada por:
W = 12 L I^2
Aqui, L é a indutância e I é a corrente que passa pelo enrolamento. No nosso caso, a indutância varia com a posição thetam, então a energia também vai depender de thetam.

Passo 3

Substituindo a expressão da indutância na fórmula da energia, temos:
W(thetam) = 12 ( L0 + L2 cos 2 thetam ) I0^2
Como I0 é uma corrente constante, podemos simplificar a expressão:
W(thetam) = I0^22 L0 + I0^22 L2 cos 2 thetam

Passo 4

Agora, para encontrar o torque ( tau) que atua sobre o rotor, usamos a relação que o torque é a derivada da energia magnética em relação ao ângulo:
tau = dWdthetam
Isso significa que vamos derivar a expressão da energia em relação a thetam.

Passo 5

Derivando W(thetam) em relação a thetam, temos:
tau = ddthetam ( I0^22 L0 + I0^22 L2 cos 2 thetam )
A derivada de uma constante ( I0^22 L0) é zero, então sobra:
tau = I0^22 L2 ddthetam cos 2 thetam

Passo 6

A derivada de cos 2 thetam em relação a thetam é -2 sin 2 thetam. Substituindo isso na expressão:
tau = I0^22 L2 ( -2 sin 2 thetam )

Passo 7

Simplificando a expressão:
tau = - I0^2 L2 sin 2 thetam

Resposta

O conjugado que atua sobre o rotor é:
tau = - I0^2 L2 sin 2 thetam

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