Analise os problemas abaixo e encontre o circuito mais simples que resolva o problema. Para isso deverá usar a técnica simplificação via mapa de karnaught e desenhar o circuito resultante.
Supondo um circuito que avalia se um BCD (Binary Coded Decimal) é válido ou não, gere um circuito que retorne 1 se o digito BCD é válido e 0 caso contrário.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para a gente criar um circuito que verifica se um número em BCD (Binary Coded Decimal) é válido. Ou seja, o circuito deve retornar 1 se o dígito BCD estiver correto e 0 se estiver errado. Para isso, vamos usar a técnica de simplificação chamada Mapa de Karnaugh. Então, vamos precisar entender o que é BCD, identificar as combinações válidas e inválidas, montar o mapa de Karnaugh e, por fim, simplificar a expressão lógica para desenhar o circuito mais simples possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um BCD (Binary Coded Decimal). O BCD é uma forma de representar números decimais (de 0 a 9) usando binário. Cada dígito decimal é representado por quatro bits. Por exemplo:
  • 0 em decimal é 0000 em BCD
  • 1 em decimal é 0001 em BCD
  • 9 em decimal é 1001 em BCD
Qualquer combinação de quatro bits que represente números de 0 a 9 é válida. Combinações de 1010 (10) a 1111 (15) são inválidas no BCD.

Passo 3

Agora, vamos listar todas as possíveis combinações de 4 bits e identificar quais são válidas e quais são inválidas:
A B C D Válido?
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
Aqui, A, B, C, e D são os bits do BCD.

Passo 4

Com essa tabela, vamos montar o Mapa de Karnaugh. O Mapa de Karnaugh ajuda a simplificar expressões booleanas, facilitando a criação de circuitos mais simples.
Para 4 variáveis, o mapa fica assim:
       CD
      00 01 11 10
AB 00 |1 |1 |1 |1 |
   01 |1 |1 |1 |1 |
   11 |0 |0 |0 |0 |
   10 |1 |1 |0 |0 |
Aqui, cada célula representa uma combinação de ABCD e seu valor de validade.

Passo 5

Agora, vamos identificar os grupos de 1s no mapa para simplificar a expressão:
  1. Grupo de oito 1s: engloba todas as combinações onde A é 0.
  2. Grupo de dois 1s: onde A=1 e B=0, C=0.
Isso nos dá as seguintes simplificações:
  • Quando A = 0, o dígito é válido, independentemente dos outros bits.
  • Quando A = 1, B = 0 e C = 0, o dígito também é válido.

Passo 6

Transformando essas simplificações em expressão lógica:
  • A’ (A negado) representa todas as vezes que A é 0.
  • A * B’ * C’ representa quando A=1, B=0 e C=0.
Então, a expressão final fica:
V = A + (A cdot B cdot C)

Resposta

A expressão lógica simplificada para o circuito é:
V = A + (A cdot B cdot C)
Isso significa que o circuito retorna 1 (válido) quando A é 0, ou quando A é 1, B e C são 0. Caso contrário, retorna 0 (inválido).

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