Para ingressar na sala segura de um laboratório, Benedito deve apertar cinco botões coloridos na sequência correta. Benedito esqueceu-se da senha, mas lembrou que o primeiro botão a ser apertado era o de cor azul e o último a ser apertado era de cor verde. Qual o número máximo de tentativas que Benedito poderá fazer para acessar a sala, sabendo que cada cor é apertada uma única vez?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema onde o Benedito precisa apertar cinco botões coloridos numa ordem específica para entrar numa sala segura. Ele lembra que o primeiro botão é azul e o último é verde, e cada botão é apertado só uma vez. Hoje, vamos descobrir quantas tentativas ele pode precisar fazer no máximo para acertar a senha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos resolver aqui. Estamos lidando com permutação, que é uma maneira de organizar elementos em ordem. No caso, os elementos são os botões de cores que o Benedito precisa apertar. Queremos saber quantas combinações diferentes ele pode tentar, considerando que o primeiro e o último botão já estão definidos.
Passo 3
Vamos começar identificando quantos botões ele tem no total e quais já sabemos a posição. Temos 5 botões no total:
- Primeiro botão: Azul (já definido)
- Último botão: Verde (já definido)
- Três botões restantes: Que podem ser de qualquer outra cor, mas sem repetir nenhuma.
Como o primeiro e o último botões já estão definidos, só precisamos organizar os três botões do meio.
Passo 4
Para organizar os três botões do meio, usamos o conceito de fatorial em permutação. O fatorial de um número é a multiplicação de todos os inteiros positivos até esse número. Por exemplo,
.
Passo 5
Então, para os três botões do meio, o número de formas diferentes de organizá-los é:
Isso significa que existem 6 sequências diferentes que o Benedito pode tentar com os botões do meio.
Passo 6
Portanto, considerando que o primeiro e o último botões já estão fixos, o número total de tentativas que o Benedito precisará fazer no máximo é igual ao número de permutações dos três botões do meio.
Resposta
O número máximo de tentativas que Benedito poderá fazer para acessar a sala é 6.