Um instrumento musical possui uma de suas cordas com densidade de
. Quando a corda está sujeita a uma tensão de 10 N , observamos que, ao prender o dedo a uma distância de 1 cm de uma extremidade, obtemos uma nota musical 1 semi-tom -da escala cromática- acima da frequência a qual a corda está afinada. Para qual frequência( Hz ) a corda foi afinada?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma corda de instrumento musical com densidade de
e está sob uma tensão de
. Quando apertamos a corda a
de uma das extremidades, a frequência da nota que ouvimos aumenta em 1 semitom na escala cromática em relação à frequência original da corda. Nosso objetivo é descobrir qual é essa frequência original em Hertz (Hz).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas em cordas, especificamente a relação entre a tensão, densidade linear da corda e a frequência da onda produzida.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter a densidade da corda para unidades mais convenientes. A densidade linear dada é
, que vamos converter para kg/m:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é dada por:
Onde:
- $ f $ é a frequência,
- $ L $ é o comprimento da corda,
- $ T $ é a tensão na corda,
- $ \mu $ é a densidade linear da corda.
Passo 4
Quando você aperta a corda a uma distância de
de uma extremidade, você está efetivamente fazendo vibrar apenas uma parte da corda, reduzindo o comprimento vibrante para
. A nova frequência quando a corda é pressionada é:
Onde $ a = 1, \mathrm{cm} = 0,01, \mathrm{m} $.
Passo 5
Segundo o problema, essa nova frequência $ f’ $ é 1 semitom acima da frequência original $ f $. Em termos de relação de frequências, um semitom corresponde a um fator de $ 2^{1/12} $. Portanto:
Passo 6
Substituindo as expressões de $ f $ e $ f’ $:
Podemos simplificar cancelando os termos comuns:
Resolvendo para $ L $:
Passo 7
Agora, vamos reescrever a expressão da frequência original $ f $:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 8
Calculando o termo dentro da raiz:
Calculando $ 2^{1/12} $:
Passo 9
Substituindo os valores na fórmula da frequência:
Resposta
A frequência à qual a corda foi afinada é aproximadamente
.