Um instrumento musical possui uma de suas cordas com densidade de 5 g / cm. Quando a corda está sujeita a uma tensão de 10 N , observamos que, ao prender o dedo a uma distância de 1 cm de uma extremidade, obtemos uma nota musical 1 semi-tom -da escala cromática- acima da frequência a qual a corda está afinada. Para qual frequência( Hz ) a corda foi afinada?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma corda de instrumento musical com densidade de 5, g/cm e está sob uma tensão de 10, N. Quando apertamos a corda a 1, cm de uma das extremidades, a frequência da nota que ouvimos aumenta em 1 semitom na escala cromática em relação à frequência original da corda. Nosso objetivo é descobrir qual é essa frequência original em Hertz (Hz).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas em cordas, especificamente a relação entre a tensão, densidade linear da corda e a frequência da onda produzida.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a densidade da corda para unidades mais convenientes. A densidade linear dada é 5, g/cm, que vamos converter para kg/m:
mu = 5, g/cm = 5 times 10^-3, kg/cm = 5 times 10^-3 times 100, kg/m = 0,05, kg/m

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é dada por:
f = 12L raizTmu
Onde:
  • $ f $ é a frequência,
  • $ L $ é o comprimento da corda,
  • $ T $ é a tensão na corda,
  • $ \mu $ é a densidade linear da corda.

Passo 4

Quando você aperta a corda a uma distância de 1, cm de uma extremidade, você está efetivamente fazendo vibrar apenas uma parte da corda, reduzindo o comprimento vibrante para 1, cm. A nova frequência quando a corda é pressionada é:
f' = 12a raizTmu
Onde $ a = 1, \mathrm{cm} = 0,01, \mathrm{m} $.

Passo 5

Segundo o problema, essa nova frequência $ f’ $ é 1 semitom acima da frequência original $ f $. Em termos de relação de frequências, um semitom corresponde a um fator de $ 2^{1/12} $. Portanto:
f'

Passo 6

Substituindo as expressões de $ f $ e $ f’ $:
f
Podemos simplificar cancelando os termos comuns:
f'
Resolvendo para $ L $:
12a raizTmu = 12L raizTmu times 2^1/12

Passo 7

Agora, vamos reescrever a expressão da frequência original $ f $:
f
Substituindo os valores conhecidos:
f = 12L raizTmu = 12 times a times 2^1/12 raizTmu

Passo 8

Calculando o termo dentro da raiz:
raiz100,05 = raiz200 approx 14,1421, m/s
Calculando $ 2^{1/12} $:
2^1/12

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula da frequência:
f = 12 times 0,01 times 1,0595 times 14,1421
f = 10,02119 times 14,1421 approx 667,5, Hz

Resposta

A frequência à qual a corda foi afinada é aproximadamente 668, Hz.

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