Em um pedaço grande de um certo metal, verificamos que as ondas elásticas podem ser tanto longitudinais yL quanto transversais y- T (veja as equacoes ao final).As equações são as seguintes
Onde K=170 times 10^wed>= 9 Pa é o modulo de compressibilidade volumétrica G=52,5 times 10^wed>= 9 Pa o módulo de cisalhamento e rho=7,87 g / cm^wed>= 3. Se a onda é produzida com a frequência de 400 Hz ,determine (em metros) a diferença entre os comprimentos de onda dos modos longitudinal e transversal.
rho partial^2 yLpartial t^2=(K+43 G) partial^2 yLpartial x^2,
rho partial^2 yTpartial t^2=G partial^2 yTpartial x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas elásticas em um metal. Precisamos descobrir a diferença entre os comprimentos de onda das ondas longitudinais e transversais quando a frequência é de 400 Hz. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das ondas, calcular as velocidades de cada tipo de onda e depois achar os comprimentos de onda usando a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma onda ( v) está relacionada à sua frequência ( f) e ao comprimento de onda ( lambda) pela fórmula:
v = f times lambda
Assim, podemos achar o comprimento de onda se soubermos a velocidade da onda.

Passo 3

Agora, vamos derivar as velocidades das ondas longitudinal e transversal a partir das equações dadas.
Para a onda longitudinal:
rho partial^2 yLpartial t^2 = (K + 43 G) partial^2 yLpartial x^2
Isso nos mostra que a velocidade da onda longitudinal ( vL) é:
vL = raiz K + 43 Grho
Para a onda transversal:
rho partial^2 yTpartial t^2 = G partial^2 yTpartial x^2
A velocidade da onda transversal ( vT) é então:
vT = raiz Grho

Passo 4

Vamos agora substituir os valores fornecidos nas fórmulas. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes.
Dado:
  • $ K = 170 \times 10^{9} , Pa $
  • $ G = 52,5 \times 10^{9} , Pa $
  • $ \rho = 7,87 , g/cm^{3} $
Vamos converter a densidade para kg/m³:
K = 170 times 10^9 , Pa

Passo 5

Agora, calculamos a velocidade das ondas.
Para a onda longitudinal:
vL = raiz 170 times 10^9 + 43 times 52,5 times 10^97870
Primeiro, calculamos o numerador:
170 times 10^9 + 43 times 52,5 times 10^9 = 170 times 10^9 + 70 times 10^9 = 240 times 10^9
Então:
vL = raiz 240 times 10^97870 approx raiz3,050 times 10^7 approx 5523 , m/s
Para a onda transversal:
vT = raiz 52,5 times 10^97870 approx raiz6,669 times 10^6 approx 2583 , m/s

Passo 6

Com as velocidades calculadas, podemos achar os comprimentos de onda usando $ \lambda = \frac{v}{f} $, onde $ f = 400 , Hz $.
Para a onda longitudinal:
lambda = vf
Para a onda transversal:
f = 400 , Hz

Passo 7

Finalmente, calculamos a diferença entre os comprimentos de onda:
De

Resposta

A diferença entre os comprimentos de onda das ondas longitudinal e transversal é de aproximadamente 7,35 metros.

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