Em um pedaço grande de um certo metal, verificamos que as ondas elásticas podem ser tanto longitudinais
quanto transversais
(veja as equacoes ao final).As equações são as seguintes
Onde
é o modulo de compressibilidade volumétrica
o módulo de cisalhamento e
. Se a onda é produzida com a frequência de 400 Hz ,determine (em metros) a diferença entre os comprimentos de onda dos modos longitudinal e transversal.
,
Onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas elásticas em um metal. Precisamos descobrir a diferença entre os comprimentos de onda das ondas longitudinais e transversais quando a frequência é de 400 Hz. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das ondas, calcular as velocidades de cada tipo de onda e depois achar os comprimentos de onda usando a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma onda (
) está relacionada à sua frequência (
) e ao comprimento de onda (
) pela fórmula:
Assim, podemos achar o comprimento de onda se soubermos a velocidade da onda.
Passo 3
Agora, vamos derivar as velocidades das ondas longitudinal e transversal a partir das equações dadas.
Para a onda longitudinal:
Isso nos mostra que a velocidade da onda longitudinal (
) é:
Para a onda transversal:
A velocidade da onda transversal (
) é então:
Passo 4
Vamos agora substituir os valores fornecidos nas fórmulas. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes.
Dado:
- $ K = 170 \times 10^{9} , Pa $
- $ G = 52,5 \times 10^{9} , Pa $
- $ \rho = 7,87 , g/cm^{3} $
Vamos converter a densidade para kg/m³:
Passo 5
Agora, calculamos a velocidade das ondas.
Para a onda longitudinal:
Primeiro, calculamos o numerador:
Então:
Para a onda transversal:
Passo 6
Com as velocidades calculadas, podemos achar os comprimentos de onda usando $ \lambda = \frac{v}{f} $, onde $ f = 400 , Hz $.
Para a onda longitudinal:
Para a onda transversal:
Passo 7
Finalmente, calculamos a diferença entre os comprimentos de onda:
Resposta
A diferença entre os comprimentos de onda das ondas longitudinal e transversal é de aproximadamente 7,35 metros.