Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza! Vamos analisar o que você pediu. O exercício envolve uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pede para verificar se ela é exata. Se não for, temos que encontrar um fator integrante para torná-la exata, resolver a EDO e, se houver uma condição inicial, determinar a solução particular. Vamos precisar entender sobre EDOs exatas, fatores integrantes e técnicas de resolução de EDOs. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a EDO que estamos lidando. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação para deixá-la na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Simplificando, fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa EDO é exata. Uma EDO está na forma exata se pode ser escrita como:
E a condição de exatidão é que:
Vamos reescrever nossa EDO nessa forma. A equação que temos é:
Então, identificamos:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a EDO é exata!
Passo 4
Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que surge da integração.
Para integrar
, podemos usar a substituição
, então
, o que simplifica a integral:
Portanto:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar essa constante como parte da solução geral, então:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Dada a função
.
- Determine o domínio e represente-o graficamente;
- Encontre a equação e faça um esboço do grafico da curva de nível de
que passa por .
Considere a função dada por:
Calcule também
para os pontos
. Use isto e o item (a), para analisar a continuidade de
no ponto
.
Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.