Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-2 x y sen(x^2) + cos(x^2) d y/d x

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o que você pediu. O exercício envolve uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pede para verificar se ela é exata. Se não for, temos que encontrar um fator integrante para torná-la exata, resolver a EDO e, se houver uma condição inicial, determinar a solução particular. Vamos precisar entender sobre EDOs exatas, fatores integrantes e técnicas de resolução de EDOs. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a EDO que estamos lidando. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação para deixá-la na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
Dividindo todos os termos por , temos:
Simplificando, fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa EDO é exata. Uma EDO está na forma exata se pode ser escrita como:
E a condição de exatidão é que:
Vamos reescrever nossa EDO nessa forma. A equação que temos é:
Então, identificamos:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a EDO é exata!

Passo 4

Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar M(x, y) em relação a x para encontrar :
Aqui, é uma função arbitrária de y que surge da integração.
Para integrar , podemos usar a substituição , então , o que simplifica a integral:
Portanto:
Agora, derivamos em relação a y e igualamos a N(x, y):
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar essa constante como parte da solução geral, então:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Dada a função f(x, y) = 1 / (16 - x^2 - y^2).
  1. Determine o domínio e represente-o graficamente;
  2. Encontre a equação e faça um esboço do grafico da curva de nível de f que passa por P = (2*raiz(2), raiz(2)).
Considere a função dada por:
f(x, y)=cl (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Calcule também partial fpartial y(x, y) para os pontos (x, y) neq(0,0). Use isto e o item (a), para analisar a continuidade de partial fpartial x no ponto (0,0).
Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?
(a) integral0^pi / 4 tg x d x
(b) integral0^pi tg x d x
© integral-1^1 1x^2-x-2 d x
(d) integral-2^0 1x^2-x-2 d x
(e) integral0^1 1x^2-x-2 d x
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(cos(xy) + x/y) + [1 + (x/y) cos(xy)] d(y)/d(x) = 0