As integrais são utilizadas, entre outras aplicações, para determinar a área entre uma curva em um intervalo do eixo x.
Ache a área total entre a curva y=1-x2 e o intervalo [0, 1]. Aponte a alternativa correta.
A ) 150.
B) -2/3.
C) -2.
D) 2/3.
Ache a área total entre a curva y=1-x2 e o intervalo [0, 1]. Aponte a alternativa correta.
A ) 150.
B) -2/3.
C) -2.
D) 2/3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ y = 1 - x^2 $ e precisa encontrar a área total entre essa curva e o intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. Para isso, vamos usar integrais, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral faz aqui. Quando a gente quer achar a área entre uma curva e o eixo $ x $ em um intervalo, usamos a integral definida. A fórmula básica é:
Onde $ f(x) $ é a função da curva, e $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ f(x) = 1 - x^2 $, e os limites são de $ a = 0 $ até $ b = 1 $. Então, vamos montar a integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. A gente integra termo a termo:
Integrando cada parte:
Então, a integral completa fica:
Como estamos calculando uma área específica, não precisamos da constante $ C $.
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
Resposta
A área total é $ \frac{2}{3} $. Portanto, a alternativa correta é a D) $ \frac{2}{3} $.