As integrais são utilizadas, entre outras aplicações, para determinar a área entre uma curva em um intervalo do eixo x.
Ache a área total entre a curva y=1-x2 e o intervalo [0, 1]. Aponte a alternativa correta.
A ) 150.
B) -2/3.
C) -2.
D) 2/3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ y = 1 - x^2 $ e precisa encontrar a área total entre essa curva e o intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. Para isso, vamos usar integrais, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral faz aqui. Quando a gente quer achar a área entre uma curva e o eixo $ x $ em um intervalo, usamos a integral definida. A fórmula básica é:
x Á
Onde $ f(x) $ é a função da curva, e $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo.

Passo 3

No nosso caso, a função é $ f(x) = 1 - x^2 $, e os limites são de $ a = 0 $ até $ b = 1 $. Então, vamos montar a integral:
f(x) = 1 - x^2 Á

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. A gente integra termo a termo:
integral (1 - x^2) , dx = integral 1 , dx - integral x^2 , dx
Integrando cada parte:
integral 1 , dx = x
integral x^2 , dx = x^33
Então, a integral completa fica:
x - x^33 + C
Como estamos calculando uma área específica, não precisamos da constante $ C $.

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
[ x - x^33 ]0^1 = (1 - 1^33) - (0 - 0^33) = 1 - 13 = 23

Resposta

A área total é $ \frac{2}{3} $. Portanto, a alternativa correta é a D) $ \frac{2}{3} $.

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