Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de
. Esse problema envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração por decomposição. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão da integral para torná-la mais simples e identificar partes que conhecemos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que precisamos integrar:
. Uma boa estratégia aqui é dividir o numerador e o denominador por
para simplificar a expressão. Fazendo isso, temos:
No entanto, essa abordagem não simplifica muito a integral. Então, vamos tentar outra estratégia: decompô-la em duas partes que sejam mais fáceis de integrar.
Passo 3
Vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a integração. Podemos observar que:
Essa decomposição é útil porque agora temos duas integrais mais simples:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, vamos usar uma substituição simples. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas como
, temos que
. Portanto:
Passo 5
Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
Resposta
A integral de
é: