integral 1e^x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de 1e^x+1 d x. Esse problema envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração por decomposição. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão da integral para torná-la mais simples e identificar partes que conhecemos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que precisamos integrar: 1e^x+1. Uma boa estratégia aqui é dividir o numerador e o denominador por e^x para simplificar a expressão. Fazendo isso, temos:
1e^x+1 = e^-x1 + e^-x
No entanto, essa abordagem não simplifica muito a integral. Então, vamos tentar outra estratégia: decompô-la em duas partes que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 3

Vamos reescrever a função 1e^x+1 de uma forma que facilite a integração. Podemos observar que:
1e^x+1 = 1 - e^xe^x+1
Essa decomposição é útil porque agora temos duas integrais mais simples:
integral 1e^x+1 d x = integral 1 , d x - integral e^xe^x+1 d x

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A primeira integral é direta:
integral 1 , d x = x
Para a segunda integral, vamos usar uma substituição simples. Seja u = e^x + 1. Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = e^x Rightarrow du = e^x d x Rightarrow d x = due^x
Mas como u = e^x + 1, temos que e^x = u - 1. Portanto:
integral e^xe^x+1 d x = integral u - 1u cdot duu - 1 = integral 1u cdot du = ln|u| + C = ln(e^x + 1) + C

Passo 5

Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
integral 1e^x+1 d x = x - ln(e^x + 1) + C

Resposta

A integral de 1e^x+1 d x é:
x - ln(e^x + 1) + C

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