Passo 1
Vamos resolver a integral
.
Conteúdo da matéria: Essa integral envolve integração por substituição, uma técnica fundamental no cálculo. Precisaremos usar a substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução. Observamos que
está presente tanto no numerador quanto no denominador.
Substituição: Vamos definir
.
Por que essa substituição? Porque a derivada de
em relação a
é
, que já está presente na integral, tornando a substituição conveniente.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificação: O
no numerador e denominador se cancelam.
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Estratégia: Vamos usar uma substituição trigonométrica ou hiperbólica. Observando que temos
na expressão, uma substituição hiperbólica é adequada.
Substituição: Definimos
.
Por que essa substitição? Porque
, o que simplifica a expressão
.
Passo 5
Calculamos
em termos de
:
Substituímos
e
na integral:
Simplificamos a expressão dentro do denominador:
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Mas isso complica a integral. Para simplificar, vamos reavaliar a substituição.
Vamos utilizar uma substituição mais direta para a integral
. Sabemos que a integral de
é:
Aplicando essa fórmula com
:
Passo 7
Voltando à variável original
, lembramos que
. Substituímos
na expressão obtida:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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, do conjunto de todos os pares
tais que
e