integral 1x((ln x)^2-4)^3 / 2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral .
Conteúdo da matéria: Essa integral envolve integração por substituição, uma técnica fundamental no cálculo. Precisaremos usar a substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução. Observamos que está presente tanto no numerador quanto no denominador.
Substituição: Vamos definir .
Por que essa substituição? Porque a derivada de em relação a é , que já está presente na integral, tornando a substituição conveniente.

Passo 3

Calculamos a derivada de dudx = 1x Rightarrow du = 1x dx Rightarrow dx = x , du em relação a integral 1x(u^2-4)^3 / 2 cdot x , du = integral 1(u^2-4)^3 / 2 , du :
Agora, substituímos e na integral original:
Simplificação: O no numerador e denominador se cancelam.

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral 1(u^2-4)^3 / 2 , du
Estratégia: Vamos usar uma substituição trigonométrica ou hiperbólica. Observando que temos na expressão, uma substituição hiperbólica é adequada.
Substituição: Definimos .
Por que essa substitição? Porque , o que simplifica a expressão .

Passo 5

Calculamos u = 2 sec theta Rightarrow du = 2 sec theta tan theta , dtheta em termos de integral 1((2 sec theta)^2 - 4)^3 / 2 cdot 2 sec theta tan theta , dtheta :
(4 sec^2 theta - 4) = 4(sec^2 theta - 1) = 4 tan^2 theta
Substituímos integral 1(4 tan^2 theta)^3 / 2 cdot 2 sec theta tan theta , dtheta = integral 18 tan^3 theta cdot 2 sec theta tan theta , dtheta = 14 integral sec thetatan^2 theta , dtheta e na integral:
Simplificamos a expressão dentro do denominador:
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Simplificamos a expressão:
14 integral sec thetatan^2 theta , dtheta = 14 integral sec thetasin^2 thetacos^2 theta , dtheta = 14 integral sec^3 thetasin^2 theta , dtheta
Mas isso complica a integral. Para simplificar, vamos reavaliar a substituição.
Vamos utilizar uma substituição mais direta para a integral u2a^2 (u^2 - a^2)^1/2 . Sabemos que a integral de integral 1(u^2 - 4)^3/2 du = u8 (u^2 - 4)^1/2 + C é:
Aplicando essa fórmula com :

Passo 7

Voltando à variável original ln x8 raiz(ln x)^2 - 4 + C , lembramos que . Substituímos na expressão obtida:

Resposta

A integral ln x8 raiz(ln x)^2 - 4 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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