Passo 1

Vamos resolver a integral .
Conteúdo da matéria: Essa integral envolve integração por substituição, uma técnica fundamental no cálculo. Precisaremos usar a substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução. Observamos que está presente tanto no numerador quanto no denominador.
Substituição: Vamos definir .
Por que essa substituição? Porque a derivada de em relação a é , que já está presente na integral, tornando a substituição conveniente.

Passo 3

Calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na integral original:
Simplificação: O no numerador e denominador se cancelam.

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
Estratégia: Vamos usar uma substituição trigonométrica ou hiperbólica. Observando que temos na expressão, uma substituição hiperbólica é adequada.
Substituição: Definimos .
Por que essa substitição? Porque , o que simplifica a expressão .

Passo 5

Calculamos em termos de :
Substituímos e na integral:
Simplificamos a expressão dentro do denominador:
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Simplificamos a expressão:
Mas isso complica a integral. Para simplificar, vamos reavaliar a substituição.
Vamos utilizar uma substituição mais direta para a integral . Sabemos que a integral de é:
Aplicando essa fórmula com :

Passo 7

Voltando à variável original , lembramos que . Substituímos na expressão obtida:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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