Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de integração por partes e substituição. Vamos precisar entender como aplicar essas técnicas para integrar funções que envolvem a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Isso é útil quando temos um produto de duas funções que podemos decompor em e .

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa integral que correspondem a e . Vamos escolher:
Com isso, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
Sabemos que . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, encontramos integrando :

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Simplificando a integral restante:
Agora, vamos resolver .

Passo 8

Para integrar , usamos substituição:
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 9

Voltando à expressão anterior:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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