Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de integração por partes e substituição. Vamos precisar entender como aplicar essas técnicas para integrar funções que envolvem a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Isso é útil quando temos um produto de duas funções que podemos decompor em
e
.
Passo 3
Vamos identificar as partes da nossa integral que correspondem a
e
. Vamos escolher:
Com isso, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
:
Sabemos que . Aplicando isso:
Passo 5
Agora, encontramos
integrando
:
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Simplificando a integral restante:
Agora, vamos resolver
.
Passo 8
Para integrar
, usamos substituição:
Seja , então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Seja
Substituindo na integral:
Passo 9
Voltando à expressão anterior:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.