integral arctg(1x) d x

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de integração por partes e substituição. Vamos precisar entender como aplicar essas técnicas para integrar funções que envolvem a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Isso é útil quando temos um produto de duas funções que podemos decompor em e .

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa integral que correspondem a u = arctg(1x) e dv = dx e . Vamos escolher:
Com isso, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando u = arctg(1x) implies du = ddx arctg(1x) , dx :
Sabemos que . Aplicando isso:
du = -1x^21 + (1x)^2 , dx = -1x^21 + 1x^2 , dx = -1x^2 + 1 , dx

Passo 5

Agora, encontramos dv = dx implies v = x integrando :

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Simplificando a integral restante:
Agora, vamos resolver x cdot arctg(1x) - integral (-xx^2 + 1) , dx = x cdot arctg(1x) + integral xx^2 + 1 , dx .

Passo 8

Para integrar integral xx^2 + 1 , dx = 12 integral 1w , dw = 12 ln|w| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C , usamos substituição:
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 9

Voltando à expressão anterior:
Onde x cdot arctg(1x) + 12 ln(x^2 + 1) + C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
onde x cdot arctg(1x) + 12 ln(x^2 + 1) + C é a constante de integração.

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