integral coth^2(3 z) d z;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral coth^2(3 z) , dz. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar das identidades das funções hiperbólicas e das regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade importante das funções hiperbólicas. Sabemos que:
coth^2(x) = 1 + csch^2(x)
Essa identidade nos ajuda a simplificar a função que queremos integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral, temos:
integral coth^2(3 z) , dz = integral (1 + csch^2(3 z)) , dz
Agora, separamos a integral em duas partes:
integral 1 , dz + integral csch^2(3 z) , dz

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. A primeira é bem simples:
integral 1 , dz = z

Passo 5

Agora, a segunda integral envolve a função csch^2. Sabemos que a derivada da função coth(x) é:
ddx coth(x) = -csch^2(x)
Isso significa que:
integral csch^2(x) , dx = -coth(x) + C
Aplicando isso para a nossa integral, lembrando que temos um coeficiente dentro da função ( 3z), precisamos usar substituição:
integral csch^2(3 z) , dz = -13 coth(3 z) + C

Resposta

Juntando as duas partes, a integral fica:
integral coth^2(3 z) , dz = z - 13 coth(3 z) + C

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