integral d x(1-x^2)^32

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de integral está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo potências de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir .
Por que isso? Porque sabemos que , o que simplifica a expressão no denominador.

Passo 3

Com dx = cos theta , dtheta , precisamos também encontrar em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos integral cos theta , dtheta(1 - sin^2 theta)^32 = integral cos theta , dtheta(cos^2 theta)^32 e na integral original:

Passo 5

Simplificamos o denominador:
(cos^2 theta)^32 = cos^3 theta
Então, a integral fica:
integral cos theta , dthetacos^3 theta = integral cos^-2 theta , dtheta = integral sec^2 theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que a integral de integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C é . Então:

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original tan theta = sin thetacos theta = xraiz1 - x^2 . Como fizemos , temos:

Resposta

Portanto, a integral é:
integral dx(1 - x^2)^32 = xraiz1 - x^2 + C

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