A função
nāo está definida no ponto
. Existe algum valor que podemos dar a
para torná-la definida e contínua neste ponto?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
que não está definida quando
porque o denominador fica zero aí, e a divisão por zero não é permitida. A pergunta é: existe algum valor que a gente pode atribuir a
para que a função fique definida e contínua nesse ponto?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua no ponto
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Como
não está definido, queremos encontrar um valor para
que faça isso acontecer.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 3. Isso nos ajudará a ver para qual valor deveríamos atribuir a
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Notamos que o numerador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, substituindo na função:
Passo 5
Agora, podemos cancelar o termo
que está no numerador e no denominador, desde que
:
Passo 6
Com a expressão simplificada, o limite fica:
Isso significa que, à medida que
se aproxima de 3,
se aproxima de 6.
Passo 7
Para que a função
seja contínua em
, o valor de
deve ser igual a esse limite. Portanto, devemos definir:
Resposta
Podemos definir
para que a função fique definida e contínua no ponto
.
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Defina precisamente:
Calcule, caso exista ou justifique a nâo exitência: