A função nāo está definida no ponto . Existe algum valor que podemos dar a para torná-la definida e contínua neste ponto?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função que não está definida quando porque o denominador fica zero aí, e a divisão por zero não é permitida. A pergunta é: existe algum valor que a gente pode atribuir a para que a função fique definida e contínua nesse ponto?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua no ponto . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Como não está definido, queremos encontrar um valor para que faça isso acontecer.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3. Isso nos ajudará a ver para qual valor deveríamos atribuir a .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Notamos que o numerador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, substituindo na função:

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo que está no numerador e no denominador, desde que :

Passo 6

Com a expressão simplificada, o limite fica:
Isso significa que, à medida que se aproxima de 3, se aproxima de 6.

Passo 7

Para que a função seja contínua em , o valor de deve ser igual a esse limite. Portanto, devemos definir:

Resposta

Podemos definir para que a função fique definida e contínua no ponto .

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Defina precisamente:
Calcule, caso exista ou justifique a nâo exitência: