A integral indefinida
é:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral indefinida aqui:
. O conteúdo é cálculo integral, e pra resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica ou outra técnica de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz. Observa que temos
. Uma boa estratégia é usar uma substituição que envolva uma expressão semelhante. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a expressão para substituir na integral. Mas olha só, na nossa integral original temos
no denominador e uma raiz de
. Vamos tentar expressar tudo em termos de
. Substituindo
, temos:
E sabemos que
, então
.
Passo 4
Vamos agora reescrever a integral em termos de
:
Mas aqui percebemos que ainda temos uma
na expressão, o que complica. Então, talvez essa substituição não seja a melhor. Vamos tentar outra abordagem usando substituição trigonométrica.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição trigonométrica. Seja
. Então,
. Vamos substituir na integral:
Simplificando:
Como
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Simplificando mais:
Sabemos que
e
, então:
Então a integral fica:
Passo 7
A integral de
é
. Então:
Agora, vamos voltar para
. Sabemos que
, então:
E:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
A alternativa correta é a)
.
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.
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.
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