A integral indefinida é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral indefinida aqui: . O conteúdo é cálculo integral, e pra resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica ou outra técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz. Observa que temos . Uma boa estratégia é usar uma substituição que envolva uma expressão semelhante. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a expressão para substituir na integral. Mas olha só, na nossa integral original temos no denominador e uma raiz de . Vamos tentar expressar tudo em termos de . Substituindo , temos:
E sabemos que , então .

Passo 4

Vamos agora reescrever a integral em termos de :
Mas aqui percebemos que ainda temos uma na expressão, o que complica. Então, talvez essa substituição não seja a melhor. Vamos tentar outra abordagem usando substituição trigonométrica.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição trigonométrica. Seja . Então, . Vamos substituir na integral:
Simplificando:
Como :
Então, a integral fica:

Passo 6

Simplificando mais:
Sabemos que e , então:
Então a integral fica:

Passo 7

A integral de é . Então:
Agora, vamos voltar para . Sabemos que , então:
E:

Passo 8

Substituindo de volta:

Resposta

A alternativa correta é a) .

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