A integral indefinida integral 1x^2 raizx^2+4 d x é:
a) -raizx^2+44 x+C.
b) raizx^2+44 x+C.
c) -raizx^2+42 x+C.
d) -4 x raizx^2+4+C.
e) 4 x raizx^2+4+C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral indefinida aqui: . O conteúdo é cálculo integral, e pra resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica ou outra técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz. Observa que temos . Uma boa estratégia é usar uma substituição que envolva uma expressão semelhante. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a expressão para substituir na integral. Mas olha só, na nossa integral original temos raizx^2 + 4 = raizu no denominador e uma raiz de . Vamos tentar expressar tudo em termos de . Substituindo , temos:
E sabemos que , então .

Passo 4

Vamos agora reescrever a integral em termos de integral 1x^2 raizu dx = integral 1x^2 raizu cdot du2x = 12 integral 1x^3 raizu du :
Mas aqui percebemos que ainda temos uma na expressão, o que complica. Então, talvez essa substituição não seja a melhor. Vamos tentar outra abordagem usando substituição trigonométrica.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição trigonométrica. Seja integral 1(2 tan theta)^2 raiz(2 tan theta)^2 + 4 cdot 2 sec^2 theta dtheta . Então, integral 14 tan^2 theta cdot raiz4 tan^2 theta + 4 cdot 2 sec^2 theta dtheta = integral 14 tan^2 theta cdot raiz4 (tan^2 theta + 1) cdot 2 sec^2 theta dtheta . Vamos substituir na integral:
raiz4 sec^2 theta = 2 sec theta
Simplificando:
integral 14 tan^2 theta cdot 2 sec theta cdot 2 sec^2 theta dtheta = integral sec theta4 tan^2 theta dtheta
Como :
Então, a integral fica:

Passo 6

Simplificando mais:
Sabemos que sec thetatan^2 theta = 1/cos theta(sin^2 theta)/cos^2 theta = cos thetasin^2 theta e 14 integral cos thetasin^2 theta dtheta = 14 integral cot theta csc theta dtheta , então:
Então a integral fica:

Passo 7

A integral de 14 (-csc theta) + C = -14 csc theta + C é theta = arctan ( x2 ) . Então:
csc theta = raizx^2 + 4x
Agora, vamos voltar para . Sabemos que , então:
E:

Passo 8

Substituindo de volta:
-14 cdot raizx^2 + 4x + C = -raizx^2 + 44x + C

Resposta

A alternativa correta é a) .

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