Calcule a integral .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais racionais, e para resolver vamos precisar usar frações parciais. Basicamente, a ideia é quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear e um fator quadrático , assumimos a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 6

Resolvendo esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na terceira equação:
  1. Agora temos:
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Então, .
E de , com , temos:

Passo 7

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para a primeira integral, sabemos que .

Passo 9

Calculando a primeira integral:

Passo 10

Para a segunda integral , vamos separar os termos:
A primeira parte usa a substituição , e a segunda parte é uma forma padrão que envolve a função arco-tangente.

Passo 11

Integrando cada parte:

Passo 12

Juntando tudo, a integral fica:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a

Exercícios relacionados

Considere a constante como sendo um valor conhecido. Usando integração por partes, calcule o valor de definido por
Observação: O valor de não precisa ser calculado posto que essa integral não é simples.
Calcule a integral .
Calcule a integral .
A integral indefinida é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .