Calcule a integral integral x^2+17 x+10(x-5)(x^2+5) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais racionais, e para resolver vamos precisar usar frações parciais. Basicamente, a ideia é quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração x^2+17 x+10(x-5)(x^2+5) = Ax-5 + Bx + Cx^2+5 como uma soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear e um fator quadrático , assumimos a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar x^2+17 x+10 = A(x^2+5) + (Bx + C)(x-5) , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
x^2+17 x+10 = A x^2 + 5A + Bx^2 - 5Bx + Cx - 5C
Juntando os termos semelhantes:
x^2+17 x+10 = (A + B)x^2 + (-5B + C)x + (5A - 5C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 6

Resolvendo esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 5(1 - B) - 5C = 10 5 - 5B - 5C = 10 -5B - 5C = 5 B + C = -1
  2. Substituindo A = 1 - B B + C = -1 -5B + C = 17 na terceira equação:
-5B + C - (B + C) = 17 - (-1) -6B = 18 B = -3
  1. Agora temos:
-3 + C = -1 C = 2
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Então, .
E de , com , temos:

Passo 7

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
x^2+17 x+10(x-5)(x^2+5) = 4x-5 + -3x + 2x^2+5

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 4x-5 , dx + integral -3x + 2x^2+5 , dx
Para a primeira integral, sabemos que .

Passo 9

Calculando a primeira integral:
integral 4x-5 , dx = 4 ln|x-5|

Passo 10

Para a segunda integral -3 integral xx^2+5 , dx + 2 integral 1x^2+5 , dx , vamos separar os termos:
A primeira parte usa a substituição , e a segunda parte é uma forma padrão que envolve a função arco-tangente.

Passo 11

Integrando cada parte:

Passo 12

Juntando tudo, a integral fica:
4 ln|x-5| - 32 ln|x^2+5| + 2raiz5 arctan(xraiz5) + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 4 ln|x-5| - 32 ln|x^2+5| + 2raiz5 arctan(xraiz5) + C é igual a

Exercícios relacionados