Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais racionais, e para resolver vamos precisar usar frações parciais. Basicamente, a ideia é quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear e um fator quadrático , assumimos a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Passo 4
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Passo 6
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Agora temos:
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Então, .
E de , com , temos:
Passo 7
Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
x^2+17 x+10(x-5)(x^2+5) = 4x-5 + -3x + 2x^2+5
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 4x-5 , dx + integral -3x + 2x^2+5 , dx
Para a primeira integral, sabemos que .
Passo 9
Calculando a primeira integral:
integral 4x-5 , dx = 4 ln|x-5|
Passo 10
Para a segunda integral -3 integral xx^2+5 , dx + 2 integral 1x^2+5 , dx , vamos separar os termos:
A primeira parte usa a substituição , e a segunda parte é uma forma padrão que envolve a função arco-tangente.
Passo 11
Integrando cada parte:
Passo 12
Juntando tudo, a integral fica:
4 ln|x-5| - 32 ln|x^2+5| + 2raiz5 arctan(xraiz5) + C
onde é a constante de integração.
Resposta
A integral 4 ln|x-5| - 32 ln|x^2+5| + 2raiz5 arctan(xraiz5) + C é igual a