Calcule a integral integral cos ^3(x) sen^6(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo, especificamente em integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma técnica de substituição que simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, note que temos um expoente ímpar na função . Isso é útil porque podemos separar uma e usar a identidade trigonométrica para substituir o restante. Vamos reescrever como .

Passo 3

Substituímos integral cos^3(x) sen^6(x) , dx = integral (1 - sen^2(x)) sen^6(x) cos(x) , dx pela identidade . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, fazemos a substituição . Dessa forma, a derivada de integral (1 - u^2) u^6 , du em relação a é . Isso simplifica a integral para termos em :

Passo 5

Multiplicando os termos dentro da integral, temos:
integral (u^6 - u^8) , du

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral u^6 , du - integral u^8 , du = u^77 - u^99 + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos sen^7(x)7 - sen^9(x)9 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a:

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