integral sech^2(t) tanh ^5(t) d t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas, especificamente o cosseno hiperbólico ( ) e a tangente hiperbólica ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar. Observando a integral, notamos que u = tanh(t) é a derivada de . Isso é importante porque facilita a substituição.
Então, vamos fazer:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = sech^2(t) em relação a du = sech^2(t) , dt para substituir na integral. A derivada de é , então:

Passo 4

Substituímos integral sech^2(t) tanh^5(t) , dt = integral u^5 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples: integral u^5 , du = u^66 + C . Vamos resolver essa integral usando a regra básica da integração de potências, que diz que , onde é a constante de integração.
Aplicando essa regra:

Passo 6

Finalmente, voltamos para a variável original u^66 + C = tanh^6(t)6 + C substituindo por :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados