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Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A função do exercício é . A matéria que vamos mexer envolve funções hiperbólicas, especificamente a função secante hiperbólica ao quadrado. Para resolver o que for pedido, provavelmente vamos precisar entender como derivar essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função . A secante hiperbólica é definida como o inverso do cosseno hiperbólico, ou seja:
E sabemos que:
Então, podemos reescrever a função como:

Passo 3

Agora, a função que a gente tem é . Isso significa que estamos elevando a função ao quadrado. Então, para derivar , vamos precisar aplicar a regra da cadeia e saber a derivada da .

Passo 4

A regra da cadeia é uma técnica de derivação que usamos quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro de outra. Se temos onde , então a derivada de em relação a é:

Passo 5

Vamos aplicar isso na nossa função. Primeiro, identifiquemos as partes:
A derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir.
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